Dado o complexo
, então
vale:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
. As informações relevantes são:
-
está explícito: . - A pergunta é única: encontrar o valor numérico de
.
Não há outras condições ou figuras. Vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro precisamos representar
em forma polar (módulo e argumento), porque elevar complexos fica muito mais simples nessa forma. Vou lembrar o que é cada coisa:
- O módulo
de um complexo é a distância ao ponto no plano, dado por . - O argumento
é o ângulo que o vetor que liga a origem ao ponto faz com o eixo real positivo; pode ser calculado por (ajustando quadrante quando necessário).
Aplicando isso a, temos e .
Passo 3
Calcular o módulo
:
Explicação:
, então
.
Passo 4
Calcular o argumento
. Usando
:
Justificativa:
é conhecido como
(60 graus). O ponto
está no primeiro quadrante, então não precisamos ajustar o ângulo.
Passo 5
Agora escrevemos
na forma polar (ou trigonométrica):
Comentário: essa é a decomposição padrão;
e
, o que confere com
quando multiplicamos por
.
Passo 6
Usamos agora o Teorema de De Moivre para elevar
a uma potência inteira. O teorema diz:
Aqui
é o módulo e
o argumento;
é inteiro positivo.
Passo 7
Aplicando De Moivre com
,
e
:
Calculemos cada parte:
e
.
Passo 8
Avaliar as funções trigonométricas em
:
Portanto
Passo 9
Interpretação final: o resultado é um número real positivo
. Como checagem rápida, note que o módulo de
é
, então o módulo de
deve ser
; o argumento ficou
, equivalente a argumento zero, por isso não há parte imaginária.