Dado o complexo z=1+i \sqrt{3}, então z^{6} vale:
a) 1-3 \sqrt{3} i
b) -64 i
c) 6+6 \sqrt{3} i
d) 1+3 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=1+i\sqrt{3} e pede para calcular z^{6}. As informações relevantes são:
  • z está explícito: z=1+i\sqrt{3}.
  • A pergunta é única: encontrar o valor numérico de z^{6}.
    Não há outras condições ou figuras. Vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro precisamos representar z em forma polar (módulo e argumento), porque elevar complexos fica muito mais simples nessa forma. Vou lembrar o que é cada coisa:
  • O módulo r de um complexo x+iy é a distância ao ponto (x,y) no plano, dado por r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor que liga a origem ao ponto (x,y) faz com o eixo real positivo; pode ser calculado por \theta=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big) (ajustando quadrante quando necessário).
    Aplicando isso a z=1+i\sqrt{3}, temos x=1 e y=\sqrt{3}.

Passo 3

Calcular o módulo r:
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Explicação: (\sqrt{3})^{2}=3, então r=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Usando \theta=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big):
\theta=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\big)=\arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}.
Justificativa: \arctan(\sqrt{3}) é conhecido como \pi/3 (60 graus). O ponto (1,\sqrt{3}) está no primeiro quadrante, então não precisamos ajustar o ângulo.

Passo 5

Agora escrevemos z na forma polar (ou trigonométrica):
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)=2\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\big).
Comentário: essa é a decomposição padrão; \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2} e \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, o que confere com 1+i\sqrt{3} quando multiplicamos por 2.

Passo 6

Usamos agora o Teorema de De Moivre para elevar z a uma potência inteira. O teorema diz:
\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^{n}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big).
Aqui r é o módulo e \theta o argumento; n é inteiro positivo.

Passo 7

Aplicando De Moivre com r=2, \theta=\tfrac{\pi}{3} e n=6:
z^{6}=2^{6}\big(\cos(6\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(6\cdot\tfrac{\pi}{3})\big).
Calculemos cada parte: 2^{6}=64 e 6\cdot\tfrac{\pi}{3}=2\pi.

Passo 8

Avaliar as funções trigonométricas em 2\pi:
\cos(2\pi)=1,\qquad \sin(2\pi)=0.
Portanto
z^{6}=64\big(1+i\cdot 0\big)=64.

Passo 9

Interpretação final: o resultado é um número real positivo 64. Como checagem rápida, note que o módulo de z é 2, então o módulo de z^{6} deve ser 2^{6}=64; o argumento ficou 6\cdot\tfrac{\pi}{3}=2\pi, equivalente a argumento zero, por isso não há parte imaginária.

Resposta

64

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