Questão 02 (UFSM)
Para que o número z=(x-2 i)(2+x i) seja real, devemos ter x \in I R, tal que:
a) x=0
b) x= \pm \frac{1}{2}
c) x= \pm 2
d) x= \pm 4

Passo 1

O enunciado pergunta para quais valores de x\in\mathbb{R} o número complexo \,z=(x-2i)(2+xi)\, é um número real.
Informações dadas: \,x\in\mathbb{R}\, e \,z é definido por \,(x-2i)(2+xi).
Pergunta: determinar os valores de x (entre as alternativas) tais que \,z seja real.

Passo 2

Vamos multiplicar os dois fatores e escrever o resultado na forma padrão “parte real + i vezes parte imaginária”. Façamos a multiplicação termo a termo usando a distributiva:
(x-2i)(2+xi)=x\cdot 2 + x\cdot xi + (-2i)\cdot 2 + (-2i)\cdot (xi).

Passo 3

Calcule cada termo separadamente:
x\cdot 2 = 2x,
x\cdot xi = x^2 i,
(-2i)\cdot 2 = -4i,
(-2i)\cdot (xi) = -2x i^2.
Lembre-se que \,i^2=-1\,. Isto é um fato básico sobre o número imaginário i: por definição i=\sqrt{-1} e portanto i^2=-1.

Passo 4

Use i^2=-1 no termo -2x i^2:
-2x i^2 = -2x(-1)=2x.
Agora somamos as partes reais e as partes imaginárias obtidas nos termos anteriores.

Passo 5

Agrupando termos reais e imaginários temos
(x-2i)(2+xi)= (2x + 2x) + i(x^2 - 4).
Portanto
z = 4x + i(x^2 - 4).
Aqui \,4x\, é a parte real e \,x^2-4\, é a parte que multiplica i (a parte imaginária).

Passo 6

Um número complexo é real quando sua parte imaginária é zero. Logo precisamos de
x^2 - 4 = 0.
Isto é uma equação quadrática simples.

Passo 7

Resolva \,x^2-4=0. Podemos fatorar ou usar a raiz quadrada:
x^2=4 \implies x=\pm 2.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom conferir): se x=2 então
z=4\cdot 2 + i(2^2-4)=8 + i(0)=8,
que é real. Se x=-2 então
z=4\cdot(-2)+ i((-2)^2-4)=-8 + i(0)=-8,
também real. As outras alternativas não satisfazem x^2=4.

Resposta

c) x=\pm 2

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