Dados os complexos:
, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a fração
onde são dados os números complexos na forma trigonométrica:
Informações relevantes dadas pelo enunciado (anotei exatamente as que vêm no enunciado):
Passo 2
Regra fundamental (aqui eu te ensino a ferramenta que vamos usar): se um número complexo está na forma trigonométrica
então para dois complexos
vale:
multiplicação:
multiplicação:
divisão (se
):
Explicação curta: multiplicamos os módulos e somamos os argumentos; na divisão dividimos os módulos e subtraímos os argumentos. Esse é o jeito mais rápido e seguro para operar números complexos em forma trigonométrica numa prova.
Passo 3
Extraindo dos dados (isso é só leitura direta do enunciado):
(para
o coeficiente é
, então o módulo é
.)
Passo 4
Calcular primeiro o produto
usando a fórmula de multiplicação:
o módulo do produto é
o módulo do produto é
o argumento do produto é
Somando os ângulos com denominador comum
:
Passo 5
Então escrevemos o produto em forma trigonométrica:
Passo 6
Agora dividimos por
. Usando a fórmula de divisão:
o módulo final é
o módulo final é
o argumento final é
Para subtrair, passo a denominador comum
:
Passo 7
Logo, em forma trigonométrica o resultado é
Dica rápida:
, então podemos obter as partes real e imaginária exatas usando fórmulas de soma de ângulos.
Passo 8
Converter para a forma retangular
(para que você tenha a resposta pronta na forma que às vezes a prova pede). Usamos
Valores conhecidos:
Calculando:
Multiplicando por
(o módulo):