Dados os complexos:
\mathrm{z}_{1}=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right)
z_{2}=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{2}\right)
z_{3}=\cos \frac{\pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{3}, calcule:
\frac{z_{2} \cdot z_{3}}{z_{1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fração
\frac{z_{2}\cdot z_{3}}{z_{1}},
onde são dados os números complexos na forma trigonométrica:
z_{1}=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right),
z_{2}=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right),
z_{3}=\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (anotei exatamente as que vêm no enunciado):
\text{coeficientes (moduli) e argumentos: } z_1: 2,\\ \frac{\pi}{4};\quad z_2:4,\\ \frac{\pi}{2};\quad z_3:1,\\ \frac{\pi}{3}.

Passo 2

Regra fundamental (aqui eu te ensino a ferramenta que vamos usar): se um número complexo está na forma trigonométrica
z=r\bigl(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\bigr),
então para dois complexos
z_a=r_a\bigl(\cos\theta_a+\mathrm{i}\sin\theta_a\bigr),\qquad z_b=r_b\bigl(\cos\theta_b+\mathrm{i}\sin\theta_b\bigr),
vale:
multiplicação:
z_a z_b = r_a r_b\bigl(\cos(\theta_a+\theta_b)+\mathrm{i}\sin(\theta_a+\theta_b)\bigr),
divisão (se r_b\neq0):
\frac{z_a}{z_b} = \frac{r_a}{r_b}\bigl(\cos(\theta_a-\theta_b)+\mathrm{i}\sin(\theta_a-\theta_b)\bigr).
Explicação curta: multiplicamos os módulos e somamos os argumentos; na divisão dividimos os módulos e subtraímos os argumentos. Esse é o jeito mais rápido e seguro para operar números complexos em forma trigonométrica numa prova.

Passo 3

Extraindo dos dados (isso é só leitura direta do enunciado):
r_1=2,\\ \theta_1=\frac{\pi}{4};\qquad r_2=4,\\ \theta_2=\frac{\pi}{2};\qquad r_3=1,\\ \theta_3=\frac{\pi}{3}.
(para z_3 o coeficiente é 1, então o módulo é 1.)

Passo 4

Calcular primeiro o produto z_2\cdot z_3 usando a fórmula de multiplicação:
o módulo do produto é
r_{23}=r_2\cdot r_3=4\cdot 1=4,
o argumento do produto é
\theta_{23}=\theta_2+\theta_3=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}.
Somando os ângulos com denominador comum 6:
\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.

Passo 5

Então escrevemos o produto em forma trigonométrica:
z_2 z_3 = 4\bigl(\cos\frac{5\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{6}\bigr).

Passo 6

Agora dividimos por z_1. Usando a fórmula de divisão:
o módulo final é
r=\frac{r_{23}}{r_1}=\frac{4}{2}=2,
o argumento final é
\theta=\theta_{23}-\theta_1=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}.
Para subtrair, passo a denominador comum 12:
\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}.

Passo 7

Logo, em forma trigonométrica o resultado é
2\bigl(\cos\frac{7\pi}{12}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{12}\bigr).
Dica rápida: \frac{7\pi}{12}=105^\circ=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, então podemos obter as partes real e imaginária exatas usando fórmulas de soma de ângulos.

Passo 8

Converter para a forma retangular a+\mathrm{i}b (para que você tenha a resposta pronta na forma que às vezes a prova pede). Usamos
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4},
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4}.
Valores conhecidos:
\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\quad \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Calculando:
\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4},
\sin\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Multiplicando por 2 (o módulo):
\text{parte real }=2\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2},
\text{parte imaginária }=2\sin\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.á

Resposta

2\bigl(\cos\frac{7\pi}{12}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{12}\bigr)
\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}+\mathrm{i}\,\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados