Questão 01 (Santa Casa - SP)
Seja a igualdade
, onde i é a unidade imaginária. Os números reais x e y, que satisfazem essa igualdade, são tais que:
a)
b)
c)
d)
e)
Seja a igualdade
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre dois números complexos:
Pede-se escolher, entre as alternativas (a) a (e), qual relação entre
e
é satisfeita pelos números reais
e
que tornam essa igualdade verdadeira. As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Conceito importante (muito usado em prova): dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais. Ou seja, se
então devemos ter
Exemplo rápido: se
, então
e
. Esse é o passo-chave aqui: vamos igualar as partes real e imaginária da igualdade dada.
Passo 3
Aplicando o conceito à igualdade
identificamos:
- parte real à esquerda:
. Parte real à direita: . Logo obtemos a equação
- parte imaginária à esquerda:
. Parte imaginária à direita: . Logo obtemos a equação
Agora temos um sistema linear de duas equações em
e
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação:
Somando os termos em
:
Isolando
:
Agora voltamos para
:
Portanto os valores são
e
.
Passo 5
Vamos verificar as alternativas substituindo
e
:
a)
fica
. Falso.
b)
fica
. Verdadeiro.
c)
fica
, que não é
. Falso.
d)
fica
, que não é
. Falso.
e)
fica
, que não é
. Falso.
A única alternativa verdadeira é a (b).
Resposta
b)