Questão 01 (Santa Casa - SP)
Seja a igualdade 1+(y+x) i=2 y-x-4 i, onde i é a unidade imaginária. Os números reais x e y, que satisfazem essa igualdade, são tais que:
a) y=3 x
b) x=3 y
c) x y=-3
d) x-y=2
e) x+y=2

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre dois números complexos:
1+(y+x)i = 2y - x - 4i
Pede-se escolher, entre as alternativas (a) a (e), qual relação entre x e y é satisfeita pelos números reais x e y que tornam essa igualdade verdadeira. As alternativas são:
a) y=3x
b) x=3y
c) xy=-3
d) x-y=2
e) x+y=2

Passo 2

Conceito importante (muito usado em prova): dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais. Ou seja, se
a+bi = c+di,
então devemos ter
a=c\quad\text{e}\quad b=d.
Exemplo rápido: se 3+2i = r+si, então r=3 e s=2. Esse é o passo-chave aqui: vamos igualar as partes real e imaginária da igualdade dada.

Passo 3

Aplicando o conceito à igualdade
1+(y+x)i = 2y - x - 4i,
identificamos:
  • parte real à esquerda: 1. Parte real à direita: 2y - x. Logo obtemos a equação
1 = 2y - x.
  • parte imaginária à esquerda: y+x. Parte imaginária à direita: -4. Logo obtemos a equação
y + x = -4.
Agora temos um sistema linear de duas equações em x e y:
\begin{cases} 1 = 2y - x,\\[4pt] y + x = -4. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação isolamos x:
1 = 2y - x \quad\Rightarrow\quad x = 2y - 1.
Substituímos esse x na segunda equação:
y + x = -4 \quad\Rightarrow\quad y + (2y - 1) = -4.
Somando os termos em y:
3y - 1 = -4.
Isolando y:
3y = -4 + 1 = -3 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Agora voltamos para x = 2y - 1:
x = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3.
Portanto os valores são x = -3 e y = -1.

Passo 5

Vamos verificar as alternativas substituindo x=-3 e y=-1:
a) y=3x fica -1 = 3\cdot(-3) = -9. Falso.
b) x=3y fica -3 = 3\cdot(-1) = -3. Verdadeiro.
c) xy=-3 fica (-3)\cdot(-1)=3, que não é -3. Falso.
d) x-y=2 fica -3 - (-1) = -2, que não é 2. Falso.
e) x+y=2 fica -3 + (-1) = -4, que não é 2. Falso.
A única alternativa verdadeira é a (b).

Resposta

b) x=3y

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