Dados os complexos:
\mathrm{z}_{1}=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right)
z_{2}=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{2}\right)
z_{3}=\cos \frac{\pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{3}, calcule:
\frac{z_{1} \cdot z_{2}}{z_{3}}

Passo 1

O enunciado dá os complexos:
z_{1}=2\!\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right),\qquad z_{2}=4\!\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right),\qquad z_{3}=\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}.
O que pedem: calcular
\frac{z_{1}\cdot z_{2}}{z_{3}}.
Informações relevantes dadas (explicitando módulo e argumento de cada número, que já estão em forma trigonométrica):
|z_{1}|=2,\\ \arg(z_{1})=\frac{\pi}{4};\qquad |z_{2}|=4,\\ \arg(z_{2})=\frac{\pi}{2};\qquad |z_{3}|=1,\\ \arg(z_{3})=\frac{\pi}{3}.

Passo 2

Lembra da regra prática para números complexos em forma trigonométrica? Se
z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)
então o módulo é r e o argumento é \theta. As operações seguem estas fórmulas (que eu vou justificar rapidamente):
  • Produto:
r_{1}(\cos\theta_{1}+\mathrm{i}\sin\theta_{1})\cdot r_{2}(\cos\theta_{2}+\mathrm{i}\sin\theta_{2}) = r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+\mathrm{i}\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\big).
  • Quociente (divisão):
\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+\mathrm{i}\sin\theta_{1})}{r_{2}(\cos\theta_{2}+\mathrm{i}\sin\theta_{2})} = \frac{r_{1}}{r_{2}}\big(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+\mathrm{i}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\big),
desde que r_{2}\neq0.
Justificativa curta (por que isso funciona): ao multiplicar as expressões trigonométricas e usar as identidades de soma de ângulos
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,
os termos se combinam exatamente para formar \cos(\theta_{1}+\theta_{2}) e \sin(\theta_{1}+\theta_{2}). Para divisão, escrevemos o divisor como seu conjugado em forma trigonométrica e obtemos a subtração de argumentos.

Passo 3

Aplicando a regra do produto a z_{1} e z_{2}:
  • módulo do produto: |z_{1}z_{2}| = 2\cdot 4 = 8.
  • argumento do produto: \arg(z_{1}z_{2}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}.
Logo
z_{1}z_{2}=8\!\left(\cos\frac{3\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 4

Agora dividimos por z_{3}. Pelo fórmula de divisão:
  • módulo do quociente: \dfrac{8}{1}=8.
  • argumento do quociente: \dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}.
    Calcule a diferença de ângulos com denominador comum 12:
\frac{3\pi}{4}=\frac{9\pi}{12},\qquad \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{12},
portanto
\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{9\pi-4\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.
Assim, em forma trigonométrica:
\frac{z_{1}z_{2}}{z_{3}}=8\!\left(\cos\frac{5\pi}{12}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{12}\right).

Passo 5

Se quisermos a forma retangular (cartesiana) com radicais exatos, calculamos \cos\frac{5\pi}{12} e \sin\frac{5\pi}{12}. Note que
\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}
(ou seja, 75^\circ=45^\circ+30^\circ). Use as fórmulas de soma:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6},
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos
\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},
temos
\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},
\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Multiplicando por 8 para recuperar o módulo:
\text{Parte real} = 8\cdot\cos\frac{5\pi}{12}=8\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=2\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big),
\text{Parte imaginária} = 8\cdot\sin\frac{5\pi}{12}=8\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=2\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big).á
Portanto, na forma cartesiana:
\frac{z_{1}z_{2}}{z_{3}}=2\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big)+\mathrm{i}\,2\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big).

Resposta

2\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big)+\mathrm{i}\,2\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big)

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