Dados os complexos:
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá os complexos:
O que pedem: calcular
Informações relevantes dadas (explicitando módulo e argumento de cada número, que já estão em forma trigonométrica):
Passo 2
Lembra da regra prática para números complexos em forma trigonométrica? Se
então o módulo é
e o argumento é
. As operações seguem estas fórmulas (que eu vou justificar rapidamente):
- Produto:
- Quociente (divisão):
desde que
.
Justificativa curta (por que isso funciona): ao multiplicar as expressões trigonométricas e usar as identidades de soma de ângulos
os termos se combinam exatamente para formar
e
. Para divisão, escrevemos o divisor como seu conjugado em forma trigonométrica e obtemos a subtração de argumentos.
Passo 3
Aplicando a regra do produto a
e
:
- módulo do produto:
. - argumento do produto:
Logo
Passo 4
Agora dividimos por
. Pelo fórmula de divisão:
- módulo do quociente:
. - argumento do quociente:
.
Calcule a diferença de ângulos com denominador comum:
portanto
Assim, em forma trigonométrica:
Passo 5
Se quisermos a forma retangular (cartesiana) com radicais exatos, calculamos
e
. Note que
(ou seja,
). Use as fórmulas de soma:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos
temos
Multiplicando por
para recuperar o módulo:
Portanto, na forma cartesiana: