Dado a composição de transformação
, definida pela rotação de ângulos
e
, no sentido anti-horário, determine:
Derive a relação trigonométrica da soma e subtração de ângulos
Derive a relação trigonométrica da soma e subtração de ângulos
Passo 1
O enunciado trata da composição de duas rotações no plano,
de ângulo
e
de ângulo
, definindo
. O conteúdo é álgebra linear (matriz de rotação em
) e trigonometria. Vamos representar cada rotação por sua matriz e, ao compô-las, comparar com a forma padrão de uma rotação de ângulo
para extrair as fórmulas de soma e, depois, de subtração de ângulos.
Passo 2
A matriz que gira um vetor em
de sentido anti-horário em um ângulo
é
Assim,
Passo 3
A composição
corresponde ao produto matricial
Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
Passo 4
Por outro lado, sabemos que a rotação total
é uma rotação de ângulo
, cuja matriz é
Comparando entrada a entrada com
, obtemos
Passo 5
Para a subtração de ângulos, basta usar no passo anterior o mesmo raciocínio com
substituído por
. Como
e
, segue