Dado a composição de transformação S=T circ U: R^2 R^2, definida pela rotação de ângulos alpha e beta, no sentido anti-horário, determine:
Derive a relação trigonométrica da soma e subtração de ângulos
& sen(alpha pm beta)=sen(alpha) cos (beta) pm cos (alpha) sen(beta) & cos (alpha pm beta)=cos (alpha) cos (beta) mp sen(alpha) sen(beta)

Passo 1

O enunciado trata da composição de duas rotações no plano, U de ângulo beta e T de ângulo alpha, definindo S=Tcirc U. O conteúdo é álgebra linear (matriz de rotação em R^2) e trigonometria. Vamos representar cada rotação por sua matriz e, ao compô-las, comparar com a forma padrão de uma rotação de ângulo alpha+beta para extrair as fórmulas de soma e, depois, de subtração de ângulos.

Passo 2

A matriz que gira um vetor em R^2 de sentido anti-horário em um ângulo theta é
R(theta) = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta)
Assim,
U=R(beta) = cos(beta) & -sin(beta) sin(beta) & cos(beta) , T=R(alpha) = cos(alpha) & -sin(alpha) sin(alpha) & cos(alpha)

Passo 3

A composição S=Tcirc U corresponde ao produto matricial
S = T cdot U = cos(alpha) & -sin(alpha) sin(alpha) & cos(alpha) cos(beta) & -sin(beta) sin(beta) & cos(beta)
Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
S= cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta) & -l(cos(alpha)sin(beta)+sin(alpha)cos(beta)r)[6pt] sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta) & cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta) ]

Passo 4

Por outro lado, sabemos que a rotação total S é uma rotação de ângulo alpha+beta, cuja matriz é
R(alpha+beta) = cos(alpha+beta) & -sin(alpha+beta) sin(alpha+beta) & cos(alpha+beta)
Comparando entrada a entrada com S, obtemos
cos(alpha+beta) =cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta),
sin(alpha+beta) =sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)

Passo 5

Para a subtração de ângulos, basta usar no passo anterior o mesmo raciocínio com beta substituído por -beta. Como
cos(-beta)=cos(beta) e sin(-beta)=-sin(beta), segue
cos(alpha-beta) =cos(alpha)cos(beta)+sin(alpha)sin(beta),
sin(alpha-beta) =sin(alpha)cos(beta)-cos(alpha)sin(beta)

Resposta

sin(alphapmbeta) =sin(alpha)cos(beta)pmcos(alpha)sin(beta), cos(alphapmbeta) =cos(alpha)cos(beta)mpsin(alpha)sin(beta)

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