Dado a composição de transformação S=T circ U: R^2 R^2, definida pela rotação de ângulos alpha e beta, no sentido anti-horário, determine:
a matriz transformação padrão de S

Passo 1

O enunciado diz que U e T são rotações no plano R^2, respectivamente de ângulo alpha e de ângulo beta, ambas no sentido anti-horário, e que S=TcircU. O que precisamos é da matriz padrão de S, ou seja, a matriz 2times 2 que representa a rotação composta.

Passo 2

Lembrando que a matriz de rotação no sentido anti-horário de um ângulo theta é
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta ,
logo a matriz de U é R(alpha) e a de T é R(beta).

Passo 3

A composição S=TcircU corresponde ao produto de matrizes
[S] = R(beta),R(alpha)

Passo 4

Vamos multiplicar:
R(beta),R(alpha) = cosbeta & -sinbeta sinbeta & cosbeta cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha
Fazendo as entradas:
cosbetacosalpha - sinbetasinalpha, & -,cosbetasinalpha - sinbetacosalpha, sinbetacosalpha + cosbetasinalpha, & -,sinbetasinalpha + cosbetacosalpha

Passo 5

Aplicando as fórmulas de soma de ângulos
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta
e
sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta,
vemos que
R(beta),R(alpha) = cos(alpha+beta) & -sin(alpha+beta) sin(alpha+beta) & cos(alpha+beta)

Resposta

[S] = cos(alpha+beta) & -sin(alpha+beta) sin(alpha+beta) & cos(alpha+beta)

Exercícios relacionados