Dado a composição de transformação S=T circ U: R^2 R^2, definida pela rotação de ângulos alpha e beta, no sentido anti-horário, determine:
a composição é uma transformação ortogonal?

Passo 1

O enunciado diz que temos
Ucolon R^2toR^2 que é rotação anticlockwise de ângulo alpha e
Tcolon R^2toR^2 que é rotação anticlockwise de ângulo beta,
e define a composição S=TcircU. Queremos saber se S é uma transformação ortogonal. Vamos usar a teoria de matrizes de rotação e a propriedade de que o produto de matrizes ortogonais é ortogonal.

Passo 2

Cada rotação no plano pode ser representada por matriz ortogonal. Em particular,
Ralpha = cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha , Rbeta = cosbeta & -sinbeta sinbeta & cosbeta
Aqui, U(x)=Ralpha x e T(x)=Rbeta x.

Passo 3

Uma matriz A é ortogonal se A^T A = I. Vale verificar que
Ralpha^T = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha
e portanto
Ralpha^T Ralpha = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha = 1&00&1
O mesmo vale para Rbeta, então ambas são matrizes ortogonais.

Passo 4

A composição S corresponde à matriz
Rbeta,Ralpha
Como o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal, basta notar que
(Rbeta Ralpha)^T (Rbeta Ralpha) = Ralpha^T Rbeta^T Rbeta Ralpha = Ralpha^T I Ralpha = I
Logo Rbeta Ralpha é ortogonal. Note ainda que Rbeta Ralpha = Ralpha+beta, uma rotação de ângulo alpha+beta.

Resposta

Sim. A composição S=TcircU é ortogonal, pois é dada por Rbeta Ralpha, produto de duas matrizes ortogonais.

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