Dado a composição de transformação S=T circ U: R^2 R^2, definida pela rotação de ângulos alpha e beta, no sentido anti-horário, determine:
a matriz transformação padrão de U

Passo 1

O enunciado fala de transformações lineares em R^2 e diz que
U e T são rotações anticlockwise, com ângulos beta e alpha, respectivamente, e que
S=TcircU é a composição dessas rotações. Precisamos encontrar a matriz padrão de U.

Passo 2

Lembrando que a matriz padrão de uma rotação anticlockwise de ângulo theta em R^2 é
R(theta)= costheta & -sintheta sintheta & costheta ,
logo
Tsim T=R(alpha) e Usim U=R(beta)

Passo 3

Como S=TcircU, a matriz de S é o produto
S=T,U
Mas sabemos que duas rotações compostas somam seus ângulos, logo S é rotação de alpha+beta, isto é
S=R(alpha+beta) = cos(alpha+beta)&-sin(alpha+beta) sin(alpha+beta)&cos(alpha+beta)

Passo 4

Para achar U isoladamente, escrevemos
S=T,U ;Longrightarrow; U=T^-1S
E a inversa de uma rotação de alpha é a rotação de -alpha, isto é
T^-1=R(-alpha) = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha

Passo 5

Agora calculamos
U =R(-alpha),R(alpha+beta)
Mas a composição de rotações soma os ângulos:
R(-alpha),R(alpha+beta) =Rl(-alpha+(alpha+beta)r) =R(beta)
Portanto U é a rotação de beta.

Resposta

A matriz padrão de U é
boxed U =R(beta) = cosbeta & -sinbeta sinbeta & cosbeta

Exercícios relacionados