Seja a composição de transformação
, definida pela rotação de
em torno do eixo x e então pela projeção sobre o plano yz determine:
a composição é uma transformação ortogonal?
a composição é uma transformação ortogonal?
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar
,
onde é a rotação de
em torno do eixo
e
é a projeção sobre o plano
(mapeando
).
O conteúdo que usaremos é a definição de transformação ortogonal (ou isometria linear) em espaços com produto interno.
onde
O conteúdo que usaremos é a definição de transformação ortogonal (ou isometria linear) em espaços com produto interno.
Passo 2
Definição de transformação ortogonal: seja
um aplicativo linear entre espaços euclidianos. Dizemos que é ortogonal se e somente se, para quaisquer
, vale
um aplicativo linear entre espaços euclidianos. Dizemos que
isto é,
preserva todos os produtos internos (e portanto comprimentos e ângulos).
Passo 3
Observação sobre dimensões:
envia
em
. Toda transformação ortogonal precisa ser injetora e preservar norma de qualquer vetor. Mas uma aplicação de
em
não pode ser injetora (teorema da dimensão), então já pode-se desconfiar que
não preserva normas em geral.
Passo 4
Contraexemplo explícito: tome
Como
é rotação em torno de
, ela deixa
inalterado, logo
Em seguida
projeta sobre
, removendo a coordenada
:
Logo
Como
, não há preservação de normas, e portanto
não é ortogonal.
Resposta
Não. A composição
não preserva normas (nem produto interno), logo não é transformação ortogonal.