Seja a composição de transformação S=T circ U: R^3 R^2, definida pela rotação de 45^circ em torno do eixo x e então pela projeção sobre o plano yz determine:
a composição é uma transformação ortogonal?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar
S = TcircU:R^3toR^2,
onde U é a rotação de 45^circ em torno do eixo x e T é a projeção sobre o plano yz (mapeando (x,y,z)mapsto(y,z)).
O conteúdo que usaremos é a definição de transformação ortogonal (ou isometria linear) em espaços com produto interno.

Passo 2

Definição de transformação ortogonal: seja
A:Vto W
um aplicativo linear entre espaços euclidianos. Dizemos que A é ortogonal se e somente se, para quaisquer u,vin V, vale
lang<= A(u),,A(v)rang<= = lang<= u,,vrang<=,
isto é, A preserva todos os produtos internos (e portanto comprimentos e ângulos).

Passo 3

Observação sobre dimensões: S envia R^3 em R^2. Toda transformação ortogonal precisa ser injetora e preservar norma de qualquer vetor. Mas uma aplicação de R^3 em R^2 não pode ser injetora (teorema da dimensão), então já pode-se desconfiar que S não preserva normas em geral.

Passo 4

Contraexemplo explícito: tome
v = (1,0,0)inR^3
Como U é rotação em torno de x, ela deixa v inalterado, logo
U(v) = (1,0,0)
Em seguida T projeta sobre yz, removendo a coordenada x:
T(1,0,0) = (0,0)inR^2
Logo
|S(v)| = |(0,0)| = 0 enquanto |v| = 1
Como |S(v)|neq|v|, não há preservação de normas, e portanto S não é ortogonal.

Resposta

Não. A composição S=TcircU não preserva normas (nem produto interno), logo não é transformação ortogonal.

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