Dado o conjunto
determine uma transformação linear
de modo que se
seja uma base para o núcleo e
seja uma base para a sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos um conjunto
e precisamos encontrar uma transformação linear
(onde
é o espaço dos polinômios de grau até 3) de tal forma que:
-
seja uma base para o núcleo de (ou seja, ) -
seja uma base para a imagem de (ou seja, )
Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e a relação entre eles através do Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, lembrando do Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que:
Aqui,
. Sabemos que
tem 2 vetores, então
. Portanto:
Confere com o enunciado que a imagem é gerada por
, que é um espaço de dimensão 1.
Passo 3
Agora, precisamos construir a transformação linear
. Uma maneira eficiente de fazer isso é definir
de forma que:
onde
é uma forma linear (uma função linear que pega vetores de
e retorna escalares).
Para garantir que
esteja no núcleo de
, queremos que:
Isso implica que
e
.
Passo 4
Vamos definir
, onde
,
, e
são constantes a determinar.
Aplicando as condições:
Resolvendo o sistema:
-
→ -
→
Podemos escolher
(qualquer valor não nulo serve, já que as escalas não afetam a linearidade), então:
Portanto,
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos definir a transformação
:
Substituindo
:
Essa é a transformação linear que satisfaz as condições do enunciado.
Resposta
A transformação linear desejada é: