Dado o conjunto S=(1,1,0),(0,1,1) determine uma transformação linear T: R^3 longrightarrow P3(R) de modo que se S seja uma base para o núcleo e x^2 seja uma base para a sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos um conjunto S = (1,1,0), (0,1,1) e precisamos encontrar uma transformação linear T: R^3 P3(R) (onde P3(R) é o espaço dos polinômios de grau até 3) de tal forma que:
  • S seja uma base para o núcleo de T (ou seja, Ker(T) = S )
  • x^2 seja uma base para a imagem de T (ou seja, Im(T) = spanx^2 )
Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e a relação entre eles através do Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, lembrando do Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que:
dim(R^3) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T))
Aqui, dim(R^3) = 3 . Sabemos que S tem 2 vetores, então dim(Ker(T)) = 2 . Portanto:
3 = 2 + dim(Im(T))
dim(Im(T)) = 1
Confere com o enunciado que a imagem é gerada por x^2 , que é um espaço de dimensão 1.

Passo 3

Agora, precisamos construir a transformação linear T . Uma maneira eficiente de fazer isso é definir T de forma que:
T(x) = varphi(x) cdot x^2
onde varphi: R^3 R é uma forma linear (uma função linear que pega vetores de R^3 e retorna escalares).
Para garantir que S esteja no núcleo de T , queremos que:
T(1,1,0) = 0
T(0,1,1) = 0
Isso implica que varphi(1,1,0) = 0 e varphi(0,1,1) = 0 .

Passo 4

Vamos definir varphi(x) = a x1 + b x2 + c x3 , onde a , b , e c são constantes a determinar.
Aplicando as condições:
a(1) + b(1) + c(0) = 0 Rightarrow a + b = 0
a(0) + b(1) + c(1) = 0 Rightarrow b + c = 0
Resolvendo o sistema:
  1. a + b = 0 a = -b
  2. b + c = 0 c = -b
Podemos escolher b = 1 (qualquer valor não nulo serve, já que as escalas não afetam a linearidade), então:
a = -1
c = -1
Portanto, varphi(x) = -x1 + x2 - x3 .

Passo 5

Agora que temos varphi(x) , podemos definir a transformação T :
T(x) = varphi(x) cdot x^2
Substituindo varphi(x) :
T(x) = (-x1 + x2 - x3) cdot x^2
Essa é a transformação linear que satisfaz as condições do enunciado.

Resposta

A transformação linear desejada é:
T(x1, x2, x3) = (-x1 + x2 - x3) cdot x^2

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