Determine uma transformação linear
de modo que a dimensão do núcleo seja igual a 1.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinarmos uma transformação linear
de modo que a dimensão do núcleo dessa transformação seja igual a 1.
Conteúdo envolvido:
- Transformação Linear: Função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar.
- Núcleo (Ker \ T): Conjunto de todos os vetores do domínio que são mapeados para o vetor zero no contradomínio.
- Dimensão do Núcleo: Número de vetores linearmente independentes que formam uma base para o núcleo.
Vamos precisar entender como construir uma transformação linear que tenha exatamente uma direção “perdida”, ou seja, uma dimensão no núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço tridimensional de vetores com três componentes, e
é o espaço das polinômios de grau no máximo 2, que tem dimensão 3 (coeficientes de
,
, e
).
Para que a dimensão do núcleo de
seja 1, conforme o Teorema da Dimensão (dim(Im
) + dim(Ker
) = dim(domínio)), precisamos que:
Isso significa que a imagem de
deve ser um subespaço de dimensão 2 em
.
Passo 3
Vamos construir uma transformação linear
tal que seu núcleo seja gerado por um vetor específico em
. Por simplicidade, escolhemos o vetor
. Portanto, quaisquer múltiplos de
estarão no núcleo de
:
Agora, precisamos definir
de modo que apenas esse vetor seja mapeado para o polinômio zero, e os outros vetores sejam mapeados de forma que a imagem tenha dimensão 2.
Passo 4
Uma maneira de garantir que a imagem de
tenha dimensão 2 é definir
de forma que apenas duas das três componentes de
sejam efetivamente usadas para construir os polinômios em
. Por exemplo, podemos ignorar a terceira componente.
Definimos
da seguinte forma:
Aqui, estamos mapeando um vetor
para o polinômio
, que é um polinômio de grau no máximo 1.
Passo 5
Vamos verificar o núcleo de
:
Para que esse polinômio seja zero para todos os
, precisamos que
e
. No entanto, escolhemos
, que satisfaz
e
, portanto:
Confirmamos que
.
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é:
Essa transformação tem como núcleo a reta gerada pelo vetor
, ou seja,
, com dimensão igual a 1.