Determine uma transformação linear T: R^3 longrightarrow P2(R) de modo que a dimensão do núcleo seja igual a 1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinarmos uma transformação linear T: R^3 longrightarrow P2(R) de modo que a dimensão do núcleo dessa transformação seja igual a 1.
Conteúdo envolvido:
  • Transformação Linear: Função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar.
  • Núcleo (Ker \ T): Conjunto de todos os vetores do domínio que são mapeados para o vetor zero no contradomínio.
  • Dimensão do Núcleo: Número de vetores linearmente independentes que formam uma base para o núcleo.
Vamos precisar entender como construir uma transformação linear que tenha exatamente uma direção “perdida”, ou seja, uma dimensão no núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que R^3 é o espaço tridimensional de vetores com três componentes, e P2(R) é o espaço das polinômios de grau no máximo 2, que tem dimensão 3 (coeficientes de x^0 , x^1 , e x^2 ).
Para que a dimensão do núcleo de T seja 1, conforme o Teorema da Dimensão (dim(Im T ) + dim(Ker T ) = dim(domínio)), precisamos que:
dim(Im T) + 1 = 3 implies dim(Im T) = 2
Isso significa que a imagem de T deve ser um subespaço de dimensão 2 em P2(R) .

Passo 3

Vamos construir uma transformação linear T tal que seu núcleo seja gerado por um vetor específico em R^3 . Por simplicidade, escolhemos o vetor v = (1, 0, 0) . Portanto, quaisquer múltiplos de v estarão no núcleo de T :
Ker T = span, (1, 0, 0) ,
Agora, precisamos definir T de modo que apenas esse vetor seja mapeado para o polinômio zero, e os outros vetores sejam mapeados de forma que a imagem tenha dimensão 2.

Passo 4

Uma maneira de garantir que a imagem de T tenha dimensão 2 é definir T de forma que apenas duas das três componentes de R^3 sejam efetivamente usadas para construir os polinômios em P2(R) . Por exemplo, podemos ignorar a terceira componente.
Definimos T da seguinte forma:
T(x, y, z) = y cdot 1 + z cdot x = y + z x
Aqui, estamos mapeando um vetor (x, y, z) para o polinômio y + z x , que é um polinômio de grau no máximo 1.

Passo 5

Vamos verificar o núcleo de T :
Ker T = , (x, y, z) in R^3 mid y + z x = 0 ,
Para que esse polinômio seja zero para todos os x , precisamos que y = 0 e z = 0 . No entanto, escolhemos v = (1, 0, 0) , que satisfaz y = 0 e z = 0 , portanto:
Ker T = span, (1, 0, 0) ,
Confirmamos que dim(Ker T) = 1 .

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é:
T(x, y, z) = y + z,x
Essa transformação tem como núcleo a reta gerada pelo vetor (1, 0, 0) , ou seja, Ker T = span, (1, 0, 0) , , com dimensão igual a 1.

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