Determine uma base e a dimensão do núcleo e da das seguintes transformações lineares: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares entre espaços de polinômios. Especificamente, temos uma transformação que pega um polinômio de grau até 2 () e transforma em um polinômio de grau até 3 (). A função dada é:
O que queremos descobrir é uma base e a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação. Para isso, precisamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios que, quando aplicamos a transformação , resultam no polinômio zero. Ou seja:
Para encontrar , precisamos resolver a equação .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de e montar a equação:
Queremos encontrar todas as funções que satisfazem essa equação. Vamos considerar que é um polinômio de grau até 2, então podemos escrever:
Onde são reais.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituímos e na equação de :
Simplificando:
Como estamos no espaço , que inclui polinômios de até grau 3, igualamos os coeficientes de cada termo a zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
a = 0
b = 0
c + 0 = 0 (já que b = 0 )
2c = 0 implica c = 0
Portanto, a única solução é a = b = c = 0 , ou seja, p(x) = 0 .
Isso significa que o núcleo N(T) contém apenas o polinômio zero.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem Im(T) . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a transformação T em algum polinômio de P2(R) .
Para isso, vamos considerar a aplicação de T nos polinômios da base canônica de P2(R) , que são 1 , x e x^2 .
Vamos calcular T(1) , T(x) e T(x^2) .
Passo 7
Calculando cada transformação:
Para p(x) = 1 :
T(1) = 1 + x^2 cdot 0 = 1
Para p(x) = x :
p'(x) = 1
T(x) = x + x^2 cdot 1 = x + x^2
Para p(x) = x^2 :
p'(x) = 2x
T(x^2) = x^2 + x^2 cdot 2x = x^2 + 2x^3
Então, temos os seguintes polinômios na imagem:
1, x + x^2, x^2 + 2x^3
Passo 8
Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Vamos montar uma combinação linear igual a zero: