Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: P2(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=p(x)+x^2 p^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares entre espaços de polinômios. Especificamente, temos uma transformação T que pega um polinômio de grau até 2 ( P2(R) ) e transforma em um polinômio de grau até 3 ( P3(R) ). A função dada é:
T(p(x)) = p(x) + x^2 p'(x)
O que queremos descobrir é uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) dessa transformação. Para isso, precisamos entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear. O núcleo N(T) é o conjunto de todos os polinômios p(x) que, quando aplicamos a transformação T , resultam no polinômio zero. Ou seja:
N(T) = p(x) in P2(R) | T(p(x)) = 0
Para encontrar N(T) , precisamos resolver a equação T(p(x)) = 0 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de T e montar a equação:
T(p(x)) = p(x) + x^2 p'(x) = 0
Queremos encontrar todas as funções p(x) que satisfazem essa equação. Vamos considerar que p(x) é um polinômio de grau até 2, então podemos escrever:
p(x) = a + b x + c x^2
Onde a, b, c são reais.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de p(x) :
p'(x) = b + 2c x
Agora, substituímos p(x) e p'(x) na equação de T(p(x)) :
a + b x + c x^2 + x^2(b + 2c x) = 0
Simplificando:
a + b x + c x^2 + b x^2 + 2c x^3 = 0
Como estamos no espaço P3(R) , que inclui polinômios de até grau 3, igualamos os coeficientes de cada termo a zero:
a = 0 b = 0 c + b = 0 2c = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. a = 0
  2. b = 0
  3. c + 0 = 0 (já que b = 0 )
  4. 2c = 0 implica c = 0
Portanto, a única solução é a = b = c = 0 , ou seja, p(x) = 0 .
Isso significa que o núcleo N(T) contém apenas o polinômio zero.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem Im(T) . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a transformação T em algum polinômio de P2(R) .
Para isso, vamos considerar a aplicação de T nos polinômios da base canônica de P2(R) , que são 1 , x e x^2 .
Vamos calcular T(1) , T(x) e T(x^2) .

Passo 7

Calculando cada transformação:
  1. Para p(x) = 1 :
T(1) = 1 + x^2 cdot 0 = 1
  1. Para p(x) = x :
p'(x) = 1
T(x) = x + x^2 cdot 1 = x + x^2
  1. Para p(x) = x^2 :
p'(x) = 2x
T(x^2) = x^2 + x^2 cdot 2x = x^2 + 2x^3
Então, temos os seguintes polinômios na imagem:
1, x + x^2, x^2 + 2x^3

Passo 8

Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
alpha cdot 1 + beta (x + x^2) + gamma (x^2 + 2x^3) = 0
Isso implica:
alpha + beta x + beta x^2 + gamma x^2 + 2gamma x^3 = 0
Igualando os coeficientes a zero:
alpha = 0 beta = 0 beta + gamma = 0 2gamma = 0
Resolvendo, temos gamma = 0 , então beta = 0 , e alpha = 0 . Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 9

Como os polinômios 1, x + x^2, x^2 + 2x^3 são linearmente independentes e pertencem à imagem, eles formam uma base para Im(T) .
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que aqui é 3.

Resposta

A base do núcleo N(T) é 0 e sua dimensão é 0. A base da imagem Im(T) é 1, x + x^2, x^2 + 2x^3 e sua dimensão é 3.

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