Determine quais das seguintes transformações lineares são isomorfismos, aquelas que forem isomorfismos, obtenha o isomorfismo inverso.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x-3 y, 3 x+y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma dada transformação linear é um isomorfismo. Isso tá dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e isomorfismos. Pra resolver, vamos precisar saber o que é um isomorfismo e como determinar se uma transformação linear é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a transformação linear que temos:
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y) = (x - 3y, 3x + y)
Para analisar se T é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação.

Passo 3

A matriz de uma transformação linear de R^2 para R^2 é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. A base canônica de R^2 é e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) .
Calculando T(e1) e T(e2) :
T(1, 0) = (1 - 3 cdot 0, 3 cdot 1 + 0) = (1, 3)
T(0, 1) = (0 - 3 cdot 1, 3 cdot 0 + 1) = (-3, 1)
Então, a matriz de T é:
A = 1 & -3 3 & 1

Passo 4

Agora, para saber se T é um isomorfismo, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de A :
det(A) = (1)(1) - (-3)(3) = 1 + 9 = 10
Como det(A) = 10 neq 0 , a matriz A é invertível. Portanto, a transformação T é um isomorfismo.

Passo 5

Agora que sabemos que T é um isomorfismo, vamos encontrar a sua transformação inversa T^-1 . Para isso, vamos calcular a inversa da matriz A .
A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde A = a & b c & d . Aplicando na nossa matriz:
A^-1 = 110 1 & 3 -3 & 1 = 110 & 310 -310 & 110

Resposta

A transformação T é um isomorfismo e a sua transformação inversa é dada por:
T^-1(u, v) = ( 110u + 310v, -310u + 110v )

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