Determine quais das seguintes transformações lineares são isomorfismos, aquelas que forem isomorfismos, obtenha o isomorfismo inverso. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma dada transformação linear é um isomorfismo. Isso tá dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e isomorfismos. Pra resolver, vamos precisar saber o que é um isomorfismo e como determinar se uma transformação linear é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a transformação linear que temos:
Para analisar se é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação.
Passo 3
A matriz de uma transformação linear de para é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. A base canônica de é e .
Calculando e :
Então, a matriz de é:
Passo 4
Agora, para saber se T é um isomorfismo, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de A :
det(A) = (1)(1) - (-3)(3) = 1 + 9 = 10
Como det(A) = 10 neq 0 , a matriz A é invertível. Portanto, a transformação T é um isomorfismo.
Passo 5
Agora que sabemos que T é um isomorfismo, vamos encontrar a sua transformação inversa T^-1 . Para isso, vamos calcular a inversa da matriz A .
A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde A = a & b c & d . Aplicando na nossa matriz:
A^-1 = 110 1 & 3 -3 & 1 = 110 & 310 -310 & 110
Resposta
A transformação T é um isomorfismo e a sua transformação inversa é dada por: