Determine uma transformação linear cujo núcleo seja gerada .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar uma transformação linear T: M2(R) longrightarrow M3(R) cujo núcleo (ou seja, o conjunto de todas as entradas que vão para a matriz zero) seja gerado por três matrizes específicas de 2 times 2 .
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares e núcleo de uma transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam entre espaços de matrizes e como identificar o núcleo dessas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por ker(T) , é o conjunto de todas as matrizes A em M2(R) tais que T(A) resulta na matriz zero em M3(R) .
No nosso caso, o núcleo é gerado pelas três matrizes dadas:
Isso significa que qualquer combinação linear dessas três matrizes também estará no núcleo de T .
Passo 3
Agora, precisamos definir a transformação T de tal forma que apenas as combinações lineares dessas três matrizes se anulem, ou seja, T(A1) = T(A2) = T(A3) = 0 , e que qualquer outra matriz não no núcleo seja mapeada para algo diferente de zero.
Para fazer isso, uma estratégia comum é construir T usando uma expressão linear que “elimine” exatamente essas três matrizes. Isso geralmente envolve encontrar uma condição que essas matrizes satisfazem e usar essa condição para definir T .
Passo 4
Vamos expressar uma matriz genérica A em M2(R) como:
A = a & b c & d
Queremos definir T(A) de forma que T(A) = 0 se e somente se A for uma combinação linear de A1, A2, A3 .
Isso implica que T(A) deve depender de uma combinação linear dos elementos a, b, c, d que mostre exatamente quando A está no núcleo.
Passo 5
Observando as matrizes que geram o núcleo, podemos tentar encontrar uma relação entre os elementos a, b, c, d que sempre seja satisfeita por essas matrizes.
Por exemplo, notamos que para A1 :
1 + 1 - 2 = 0 (isto é, a + b - 2c = 0) é
Para A2 :
-1 + 0 + 1 = 0 (isto é, a + 0 - c = 0) é
E para A3 :
0 + 1 - 1 = 0 (isto é, 0 + b - c = 0) é
Parece que uma condição que sempre se anula para essas matrizes é a + b - 2c = 0 .
Passo 6
Com essa condição em mente, podemos definir T(A) de tal forma que ele capture essa relação. Uma maneira de fazer isso é mapear A para uma matriz em M3(R) que contenha essa expressão.
Por exemplo, podemos definir:
T(A) = (a + b - 2c) cdot E
Onde E é uma matriz fixa em M3(R) . Escolheremos E como uma matriz não nula, por exemplo:
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 7
Assim, nossa transformação T fica:
T( a & b c & d ) = (a + b - 2c) 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = a + b - 2c & 0 & 0 0 & a + b - 2c & 0 0 & 0 & a + b - 2c
Resposta
Portanto, a transformação linear T: M2(R) longrightarrow M3(R) cujo núcleo é gerado pelas matrizes dadas é definida por:
T( a & b c & d ) = a + b - 2c & 0 & 0 0 & a + b - 2c & 0 0 & 0 & a + b - 2c
Essa transformação assegura que apenas as combinações lineares das três matrizes inicialmente fornecidas serão mapeadas para a matriz zero, formando assim o núcleo desejado.