Dado o conjunto A=(4,3,2),(0,3,2),(4,0,0) do R^3.
O conjunto A gera o R^3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = (4,3,2),,(0,3,2),,(4,0,0)
em R^3 e pergunta se span(A)=R^3.
Para que três vetores em R^3 gerem todo o espaço, eles devem ser linearmente independentes (LI). Se forem linearmente dependentes (LD), sua combinação gera apenas um subespaço próprio de dimensão menor que 3.

Passo 2

Formamos a matriz M com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante:
M = 4 & 0 & 4 3 & 3 & 0 2 & 2 & 0
O determinante de M é
det(M) =4det!3&02&0 -0cdotdet!3&02&0 +4det!3&32&2

Passo 3

Calculando cada menor:
det!3&02&0 =3cdot0 - 0cdot2 = 0, det!3&32&2 =3cdot2 - 3cdot2 = 0
Logo
det(M)=4cdot0 - 0 + 4cdot0 = 0
Como det(M)=0, os vetores são linearmente dependentes e rank(A)<3.

Passo 4

Vetores LD em R^3 só geram um subespaço de dimensão no máximo 2, portanto span(A)neqR^3.

Resposta

Não, o conjunto A não gera R^3, pois seus vetores são linearmente dependentes (determinante zero).

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