Dado o sistema homogêneo:
Encontre uma base do conjunto- solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em três variáveis e pede a base do seu espaço de soluções. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos via eliminação ou substituição, visando expressar as variáveis em função de parâmetros livres.
Passo 2
Da segunda equação
3x - y = 0
isolamos y:
y = 3x
Passo 3
Substituímos y=3x na primeira equação
x - y - z = 0
ficando
x - 3x - z = 0 Longrightarrow -2x - z = 0 Longrightarrow z = -2x
Passo 4
Verificamos a terceira equação
2x - 4y - 5z = 0
substituindo y=3x e z=-2x:
2x - 4(3x) - 5(-2x) = 2x -12x +10x =0,
logo é redundante e não impõe nova restrição. A única variável livre é x.
Passo 5
Chamando o parâmetro livre de t = x, obtemos
y = 3t, z = -2t,
então o vetor solução é
(x,y,z) = (t,3t,-2t) = t,(1,3,-2)
Logo o espaço solução é uma reta em R^3 gerada por (1,3,-2).