Responda e justifique se cada função abaixo é ou não uma transformação linear.
(Rotação de um angulo theta ) T: R^2 R^2 dada por T(x ; y)=(x cos theta-y sin theta ; y cos theta+x sin theta) onde, theta é um ângulo dado,

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y)=l(xcostheta - ysintheta,;ycostheta + xsinthetar),
onde theta é um ângulo fixo. Queremos verificar, pela definição, se T satisfaz:
1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v)=l((x1+x2)costheta-(y1+y2)sintheta,;(y1+y2)costheta+(x1+x2)sinthetar)
Distribuindo, obtemos
T(u+v) =l(x1costheta - y1sintheta + x2costheta - y2sintheta,;y1costheta + x1sintheta + y2costheta + x2sinthetar),
que é exatamente
l(x1costheta - y1sintheta,;y1costheta + x1sinthetar) + l(x2costheta - y2sintheta,;y2costheta + x2sinthetar) =T(u)+T(v)

Passo 3

Seja alphainR e u=(x,y). Então
alpha,u=(alpha x,;alpha y)
e
T(alpha,u) =l(alpha xcostheta - alpha ysintheta,;alpha ycostheta + alpha xsinthetar)
Fatorando alpha, vem
T(alpha,u) =alphal(xcostheta - ysintheta,;ycostheta + xsinthetar) =alpha,T(u)

Passo 4

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é linear. Alternativamente, nota-se que
ou seja, é dada por multiplicação por uma matriz fixa, o que garante sua linearidade.]

Resposta

Sim. A rotação T é uma transformação linear de R^2 em R^2.

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