Responda e justifique se cada função abaixo é ou não uma transformação linear.
(Rotação de um angulo
)
dada por
onde,
é um ângulo dado,
(Rotação de um angulo
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
definida por
onde
é um ângulo fixo. Queremos verificar, pela definição, se
satisfaz:
.
(aditividade)
.
(homogeneidade)
Passo 2
Sejam
e
. Então
e
Distribuindo, obtemos
que é exatamente
Passo 3
Seja
e
. Então
e
Fatorando
, vem
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é linear. Alternativamente, nota-se que
ou seja,
é dada por multiplicação por uma matriz fixa, o que garante sua linearidade.]
Resposta
Sim. A rotação
é uma transformação linear de
em
.