Responda e justifique se cada função abaixo é ou não uma transformação linear.
(Reflexão na origem) T: R^2 R^2 dada por T(x ; y)=(-x ;-y);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(-x,-y)
é uma transformação linear. O conteúdo de matéria aqui é a definição de transformação linear: precisamos checar as propriedades de aditividade
T(u+v)=T(u)+T(v) e homogeneidade
T(alpha u)=alpha T(u).

Passo 2

Vamos verificar a aditividade. Tomemos dois vetores arbitrários
u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
Aplicando T ao soma, temos
T(u+v) ;=; T(x1+x2,;y1+y2) ;=; (-(x1+x2),;-(y1+y2)) ;=; (-x1-x2,;-y1-y2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) ;=; (-x1,-y1) + (-x2,-y2) ;=; (-x1-x2,;-y1-y2)
Como T(u+v)=T(u)+T(v), a aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora checamos a homogeneidade. Seja alphainR e
u=(x,y) qualquer vetor. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y),
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T(alpha u) ;=; T(alpha x,;alpha y) ;=; (-alpha x,;-alpha y) ;=; alpha (-x,-y) ;=;alpha T(x,y)
Isso mostra que T(alpha u)=alpha T(u).

Passo 4

Como ambas as propriedades—aditividade e homogeneidade—estão satisfeitas, concluímos que T é de fato uma transformação linear. De fato, a matriz associada a T na base canônica é
-1 & 0 0 & -1 ,
que atua em (x,y) por multiplicação e envia cada componente em seu oposto.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(-x,-y) é uma transformação linear.

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