Responda e justifique se cada função abaixo é ou não uma transformação linear.
(Reflexão na origem) dada por ;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. O conteúdo de matéria aqui é a definição de transformação linear: precisamos checar as propriedades de aditividade e homogeneidade .
Passo 2
Vamos verificar a aditividade. Tomemos dois vetores arbitrários e em . Então
Aplicando ao soma, temos
Por outro lado,
Como , a aditividade está satisfeita.
Passo 3
Agora checamos a homogeneidade. Seja e qualquer vetor. Então
logo
Isso mostra que .
Passo 4
Como ambas as propriedades—aditividade e homogeneidade—estão satisfeitas, concluímos que é de fato uma transformação linear. De fato, a matriz associada a na base canônica é
que atua em (x,y) por multiplicação e envia cada componente em seu oposto.
Resposta
A aplicação T(x,y)=(-x,-y) é uma transformação linear.