Dado Um conjunto linearmente independente de vetores
de um espaço vetorial
, prove que existe uma base
de
contendo
. (Axioma da escolha)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto linearmente independente E de um espaço vetorial V, existe uma base E′ de V que contenha E. O conteúdo gira em torno de espaços vetoriais, independência linear, bases e a aplicação do Lema de Zorn (ou Axioma da Escolha) para estender conjuntos lineares independentes a uma base.
Passo 2
Definimos a família F de todos os subconjuntos de V que contêm E e são linearmente independentes. Em outras palavras,
Passo 3
Tomemos agora qualquer cadeia (cadeia = conjunto totalmente ordenado) C em F. Queremos mostrar que a união
Passo 4
Pelo Lema de Zorn (que é equivalente ao Axioma da Escolha), toda ordem parcialmente ordenada em que cada cadeia tem uma cota superior não-vazia possui um elemento maximal. Assim, existe M em F tal que não há nenhum S em F com M ⊊ S.
Passo 5
Precisamos verificar que M gera V. Suponha, para fins de contradição, que exista um vetor v em V que não esteja no subespaço gerado por M. Então o conjunto M ∪ {v} seria ainda linearmente independente (pois v não é combinação linear dos de M) e conteria E, portanto estaria em F, contradizendo a maximalidade de M.
Passo 6
Concluímos que M gera V e é linearmente independente, ou seja, é uma base de V. E como construímos M partindo de E, ele contém E. Logo, basta definir E′ = M.
Resposta
Dando-se ao Lema de Zorn, existe um conjunto maximal M contendo E e linearmente independente em V; esse M é base de V e satisfaz E ⊆ M. Portanto, basta tomar E′ = M.