Dado Um conjunto linearmente independente de vetores E de um espaço vetorial V, prove que existe uma base E^prime de V contendo E. (Axioma da escolha)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto linearmente independente E de um espaço vetorial V, existe uma base E′ de V que contenha E. O conteúdo gira em torno de espaços vetoriais, independência linear, bases e a aplicação do Lema de Zorn (ou Axioma da Escolha) para estender conjuntos lineares independentes a uma base.

Passo 2

Definimos a família F de todos os subconjuntos de V que contêm E e são linearmente independentes. Em outras palavras,
F = S subseteq V mid E subseteq S e S é linearmente independente,newlineée equipamos F com a relação de inclusão usual, que é uma ordem parcial.

Passo 3

Tomemos agora qualquer cadeia (cadeia = conjunto totalmente ordenado) C em F. Queremos mostrar que a união
U = cupS in C Snewlineé um majorante em F para C. Primeiro, como cada S em C contém E, sua união U também contém E. Em segundo lugar, a união de uma cadeia de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente (pois qualquer combinação linear finita não-trivial ocorreria dentro de um dos elementos de C). Logo, U está em F e é uma cota superior para C.

Passo 4

Pelo Lema de Zorn (que é equivalente ao Axioma da Escolha), toda ordem parcialmente ordenada em que cada cadeia tem uma cota superior não-vazia possui um elemento maximal. Assim, existe M em F tal que não há nenhum S em F com M ⊊ S.

Passo 5

Precisamos verificar que M gera V. Suponha, para fins de contradição, que exista um vetor v em V que não esteja no subespaço gerado por M. Então o conjunto M ∪ {v} seria ainda linearmente independente (pois v não é combinação linear dos de M) e conteria E, portanto estaria em F, contradizendo a maximalidade de M.

Passo 6

Concluímos que M gera V e é linearmente independente, ou seja, é uma base de V. E como construímos M partindo de E, ele contém E. Logo, basta definir E′ = M.

Resposta

Dando-se ao Lema de Zorn, existe um conjunto maximal M contendo E e linearmente independente em V; esse M é base de V e satisfaz E ⊆ M. Portanto, basta tomar E′ = M.

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