Seja a, b, c in R. Calcular os determinantes seguintes :
D1=|cccc 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 1 2 & 3 & 1 & 1 |, D2=|cccc a+b+c & b & b & b c & a+b+c & b & b c & c & a+b+c & b c & c & c & a+b+c |, D3=|ccccc 1 & 0 & 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 3 & 0 a & 0 & a & 0 & 3 b & a & 0 & a & 0 0 & b & 0 & 0 & a |

Passo 1

O enunciado pede para calcular três determinantes dependentes de parâmetros reais a,b,c. Vamos usar operações elementares de linha/coluna, expansão de Laplace e complemento de Schur para resolver cada caso.

Passo 2

Para D1, note que a segunda linha é (0,1,0,0). Expandindo por ela, obtemos
D1 = 1 cdot det1&0&11&1&12&1&1
Nessa matriz 3×3, calculamos
det = 1,(1cdot1-1cdot1) - 0 + 1,(1cdot1-2cdot1) = 0 + (1-2) = -1
Logo, D1=-1.

Passo 3

Para D2, use a operação de coluna: para j=2,3,4 faça Cj Cj-C1. Isso gera uma matriz cuja primeira coluna é (S,c,c,c)^T com S=a+b+c, e as outras três colunas formam um bloco triangular que permite expansão por cofitores na primeira coluna. Trabalhando cada menor 4×4, chega-se à expressão
D2 = (a+b)^3(a+b+c) + c(a+c)(a+b)^2 + c(a+c)^2(a+b) + c(a+c)^3

Passo 4

Para D3, reindexe em blocos de modo que tenhamos
D3=detI2!&B[3pt]C& D,
onde
B=3&0&00&3&0, C=a&0b&a0&b, D=a&0&30&a&00&0&a
Pelo complemento de Schur, D3=det(I2)cdotdet(D- C B). Calculando D-CB e seu determinante 3×3 obtemos
D3 = 4a^3 + 27b^2

Resposta

D_{1}=-1, \quad D_{2}=(a+b)3(a+b+c)+c(a+c)(a+b)2+c(a+c)2(a+b)+c(a+c)3, \quad D_{3}=4a3+27b2.

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