Exercício 6
Provar, sem calcular, que os determinantes seguintes são nulos:
Passo 1
O enunciado pede para provar, sem cálculo explícito, que os determinantes
D₁ e D₂ são nulos. O conteúdo envolve propriedades de determinantes e dependência linear: se uma linha ou coluna é combinação linear das demais, então o determinante vale zero.
D₁ e D₂ são nulos. O conteúdo envolve propriedades de determinantes e dependência linear: se uma linha ou coluna é combinação linear das demais, então o determinante vale zero.
Passo 2
Para D₁, observe as linhas:
Linha 1: [1, 1, 1]
Linha 2: [a, b, c]
Linha 3: [b+c, c+a, a+b]
Defina S = a + b + c. Então
[b+c, c+a, a+b] = S·[1,1,1] − [a,b,c].
Isso mostra que a terceira linha é combinação linear das duas primeiras. Logo, D₁ = 0.
Linha 1: [1, 1, 1]
Linha 2: [a, b, c]
Linha 3: [b+c, c+a, a+b]
Defina S = a + b + c. Então
[b+c, c+a, a+b] = S·[1,1,1] − [a,b,c].
Isso mostra que a terceira linha é combinação linear das duas primeiras. Logo, D₁ = 0.
Passo 3
Para D₂, note que cada coluna corresponde ao polinômio (x + k)² avaliado em x = a, b, c, d, com k = 0,1,2,3. Como o espaço dos polinômios de grau ≤ 2 tem dimensão 3, as quatro colunas são linearmente dependentes. Concretamente, verificamos a identidade polinomial
(x+3)² − 3(x+2)² + 3(x+1)² − x² = 0
para todo x. Isso dá a combinação linear
coluna₄ − 3·coluna₃ + 3·coluna₂ − coluna₁ = 0,
implicando D₂ = 0.
(x+3)² − 3(x+2)² + 3(x+1)² − x² = 0
para todo x. Isso dá a combinação linear
coluna₄ − 3·coluna₃ + 3·coluna₂ − coluna₁ = 0,
implicando D₂ = 0.