Exercício 6

Provar, sem calcular, que os determinantes seguintes são nulos:
D1=|ccc 1 & 1 & 1 a & b & c b+c & c+a & a+b | e D2=|cccc a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2 |

Passo 1

O enunciado pede para provar, sem cálculo explícito, que os determinantes
D₁ e D₂ são nulos. O conteúdo envolve propriedades de determinantes e dependência linear: se uma linha ou coluna é combinação linear das demais, então o determinante vale zero.

Passo 2

Para D₁, observe as linhas:
Linha 1: [1, 1, 1]
Linha 2: [a, b, c]
Linha 3: [b+c, c+a, a+b]
Defina S = a + b + c. Então
[b+c, c+a, a+b] = S·[1,1,1] − [a,b,c].
Isso mostra que a terceira linha é combinação linear das duas primeiras. Logo, D₁ = 0.

Passo 3

Para D₂, note que cada coluna corresponde ao polinômio (x + k)² avaliado em x = a, b, c, d, com k = 0,1,2,3. Como o espaço dos polinômios de grau ≤ 2 tem dimensão 3, as quatro colunas são linearmente dependentes. Concretamente, verificamos a identidade polinomial
(x+3)² − 3(x+2)² + 3(x+1)² − x² = 0
para todo x. Isso dá a combinação linear
coluna₄ − 3·coluna₃ + 3·coluna₂ − coluna₁ = 0,
implicando D₂ = 0.

Resposta

D1 = 0 e D2 = 0

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