Dado um conjunto M de geradores para um subespaço vetorial V, como obter uma base para V a partir de M via escalonamento? Utilizando este método, como conseguimos decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é LI?
Passo 1
O enunciado dá um conjunto finito M de geradores de um subespaço vetorial V (ou, no caso particular, um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n}) e pede duas coisas:
Como obter uma base de V a partir de M usando escalonamento (eliminação de Gauss / redução por linhas).
Como, usando esse mesmo método, decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é linearmente independente (LI).
Informações relevantes que temos:
M=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\} é um conjunto finito de vetores que gera V, ou seja \mathrm{span}(M)=V.
Podemos fazer operações algébricas (eliminação por linhas) em matrizes formadas a partir desses vetores.
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados de forma prática):
Linear combination (combinação linear): dizer que w é combinação linear de v_{1},\dots,v_{m} significa que existem escalares c_{1},\dots,c_{m} tais que \;w = c_{1}v_{1} + \cdots + c_{m}v_{m}.
Span: \mathrm{span}(M) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de M. Dizer que M gera V significa \mathrm{span}(M)=V.
Linearmente independente (LI): os vetores v_{1},\dots,v_{m} são LI se a única solução do sistema \;c_{1}v_{1}+\cdots+c_{m}v_{m}=0 é c_{1}=\cdots=c_{m}=0. Caso contrário são linearmente dependentes (LD).
Base: é um conjunto que gera V e é LI ao mesmo tempo. O número de vetores de qualquer base de V é a dimensão de V.
Vou usar a noção prática: transformar as coordenadas dos vetores em uma matriz e aplicar eliminação por linhas para descobrir pivôs (colunas-pivô) — eles dizem quais vetores manter.
Passo 3
Princípio do escalonamento aplicado a colunas (a ideia que você precisa entender):
Coloque os vetores geradores como colunas de uma matriz
A eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz invertível E. Logo, E A tem as mesmas dependências lineares entre colunas que A (porque E é invertível e E A x=0 \iff A x=0). Portanto a informação sobre quais colunas são combinação de outras não se perde.
Quando reduzimos A a uma forma escalonada (ou à forma reduzida por linhas), surgem colunas com pivôs (cada pivô em uma coluna diferente). Os índices dessas colunas-pivô correspondem a um subconjunto de colunas de A que é uma base para a coluna-espaço \mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}(v_{1},\dots,v_{m}).
Intuição curta: colunas sem pivô viram combinações das colunas-pivô; colunas-pivô são independentes.
Passo 4
Algoritmo passo-a-passo para obter uma base de V a partir de M (para fazer na prova):
Forme a matriz A cujas colunas são os vetores de M:
Aplique eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para levar A a uma forma escalonada por linhas (ou à forma reduzida por linhas, RREF). Use apenas operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra.
Identifique as colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) na matriz escalonada.
A base de V é formada pelos vetores originais v_{i} correspondentes às colunas-pivô. Ou seja, se os pivôs aparecem nas colunas com índices i_{1},\dots,i_{r}, então
\{v_{i_{1}},\dots,v_{i_{r}}\}
é uma base de V.
Observações práticas:
Sempre escolha os vetores correspondentes às colunas da MATRIZ ORIGINAL A, não as colunas da matriz reduzida (as colunas reduzidas são combinações que facilitam identificar os pivôs, mas a base é formada pelos vetores originais nas posições de pivô).
O número de pivôs r é a dimensão de V (rank de A).
Passo 5
Como decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é LI (procedimento para a prova):
Dado m vetores v_{1},\dots,v_{m}\in\mathbb{R}^{n}, faça a mesma coisa: coloque-os como colunas de uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times m}.
Reduza A por linhas até forma escalonada (ou RREF).
Conte o número de colunas-pivô (o rank r da matriz).
Se r=m (ou seja, há um pivô em cada coluna), então as colunas são linearmente independentes. Equivalente: o único vetor x que satisfaz A x=0 é x=0.
Se r<m, então há dependência linear (há colunas sem pivô que são combinações das colunas-pivô).
Observações rápidas úteis em prova:
Se m>n então os vetores são necessariamente dependentes (mais vetores que a dimensão do espaço).
Se m=n e o rank é n, então os vetores formam uma base de \mathbb{R}^{n}.
Passo 6
Exemplo concreto e passo a passo (faça igual na prova — mostra o processo):
Seja M=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
Pivôs aparecem na coluna 1 e na coluna 3. Logo os índices de pivô são 1 e 3.
Conclui-se que uma base de \mathrm{span}(M) é \{v_{1},v_{3}\}. O vetor v_{2} é dependente porque v_{2}=2v_{1}, logo não é necessário para gerar o espaço.
Sobre independência: como há m=3 vetores e o rank r=2<3, os vetores são linearmente dependentes.]
Passo 7
Dicas rápidas e lembretes para fazer isso rápido na prova:
Sempre coloque os vetores como colunas (a menos que queiram a base do espaço gerado pelas linhas; nesse caso coloque como linhas).
Faça eliminação por linhas com cuidado e mantenha rastreio dos pivôs por coluna.
Não esqueça: a base é formada pelos vetores originais nas colunas-pivô.
Para decidir LI: verifique se o número de pivôs é igual ao número de vetores.
Se precisar apenas saber se são LI, você pode parar quando encontrar uma coluna sem pivô (já sabe que são dependentes).
Resposta
Forme a matriz A cujas colunas são os vetores de M, aplique eliminação por linhas até obter forma escalonada e escolha como base de V os vetores originais correspondentes às colunas-pivô da matriz escalonada.
Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é linearmente independente se, ao colocá‑los como colunas em uma matriz A e escalonar, cada coluna contém um pivô (ou seja, \mathrm{rank}(A)= número de vetores).