Dado um conjunto M de geradores para um subespaço vetorial V, como obter uma base para V a partir de M via escalonamento? Utilizando este método, como conseguimos decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é LI?

Passo 1

O enunciado dá um conjunto finito M de geradores de um subespaço vetorial V (ou, no caso particular, um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n}) e pede duas coisas:
  1. Como obter uma base de V a partir de M usando escalonamento (eliminação de Gauss / redução por linhas).
  2. Como, usando esse mesmo método, decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é linearmente independente (LI).
Informações relevantes que temos:
  • M=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\} é um conjunto finito de vetores que gera V, ou seja \mathrm{span}(M)=V.
  • Podemos fazer operações algébricas (eliminação por linhas) em matrizes formadas a partir desses vetores.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados de forma prática):
  • Linear combination (combinação linear): dizer que w é combinação linear de v_{1},\dots,v_{m} significa que existem escalares c_{1},\dots,c_{m} tais que \;w = c_{1}v_{1} + \cdots + c_{m}v_{m}.
  • Span: \mathrm{span}(M) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de M. Dizer que M gera V significa \mathrm{span}(M)=V.
  • Linearmente independente (LI): os vetores v_{1},\dots,v_{m} são LI se a única solução do sistema \;c_{1}v_{1}+\cdots+c_{m}v_{m}=0 é c_{1}=\cdots=c_{m}=0. Caso contrário são linearmente dependentes (LD).
  • Base: é um conjunto que gera V e é LI ao mesmo tempo. O número de vetores de qualquer base de V é a dimensão de V.
Vou usar a noção prática: transformar as coordenadas dos vetores em uma matriz e aplicar eliminação por linhas para descobrir pivôs (colunas-pivô) — eles dizem quais vetores manter.

Passo 3

Princípio do escalonamento aplicado a colunas (a ideia que você precisa entender):
  • Coloque os vetores geradores como colunas de uma matriz
A=\begin{pmatrix} | & | & & | \\\ v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{m} \\\ | & | & & | \end{pmatrix}.
  • A eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz invertível E. Logo, E A tem as mesmas dependências lineares entre colunas que A (porque E é invertível e E A x=0 \iff A x=0). Portanto a informação sobre quais colunas são combinação de outras não se perde.
  • Quando reduzimos A a uma forma escalonada (ou à forma reduzida por linhas), surgem colunas com pivôs (cada pivô em uma coluna diferente). Os índices dessas colunas-pivô correspondem a um subconjunto de colunas de A que é uma base para a coluna-espaço \mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}(v_{1},\dots,v_{m}).
  • Intuição curta: colunas sem pivô viram combinações das colunas-pivô; colunas-pivô são independentes.

Passo 4

Algoritmo passo-a-passo para obter uma base de V a partir de M (para fazer na prova):
  1. Forme a matriz A cujas colunas são os vetores de M:
A=\begin{pmatrix} | & | & & | \\\ v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{m} \\\ | & | & & | \end{pmatrix}.
  1. Aplique eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para levar A a uma forma escalonada por linhas (ou à forma reduzida por linhas, RREF). Use apenas operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra.
  2. Identifique as colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) na matriz escalonada.
  3. A base de V é formada pelos vetores originais v_{i} correspondentes às colunas-pivô. Ou seja, se os pivôs aparecem nas colunas com índices i_{1},\dots,i_{r}, então
\{v_{i_{1}},\dots,v_{i_{r}}\}
é uma base de V.
Observações práticas:
  • Sempre escolha os vetores correspondentes às colunas da MATRIZ ORIGINAL A, não as colunas da matriz reduzida (as colunas reduzidas são combinações que facilitam identificar os pivôs, mas a base é formada pelos vetores originais nas posições de pivô).
  • O número de pivôs r é a dimensão de V (rank de A).

Passo 5

Como decidir se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é LI (procedimento para a prova):
  1. Dado m vetores v_{1},\dots,v_{m}\in\mathbb{R}^{n}, faça a mesma coisa: coloque-os como colunas de uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times m}.
  2. Reduza A por linhas até forma escalonada (ou RREF).
  3. Conte o número de colunas-pivô (o rank r da matriz).
    • Se r=m (ou seja, há um pivô em cada coluna), então as colunas são linearmente independentes. Equivalente: o único vetor x que satisfaz A x=0 é x=0.
    • Se r<m, então há dependência linear (há colunas sem pivô que são combinações das colunas-pivô).
  4. Observações rápidas úteis em prova:
    • Se m>n então os vetores são necessariamente dependentes (mais vetores que a dimensão do espaço).
    • Se m=n e o rank é n, então os vetores formam uma base de \mathbb{R}^{n}.

Passo 6

Exemplo concreto e passo a passo (faça igual na prova — mostra o processo):
Seja M=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \quad v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix}, \quad v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  1. Forme A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 0\\[4pt] 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Escalone por linhas:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Pivôs aparecem na coluna 1 e na coluna 3. Logo os índices de pivô são 1 e 3.
  2. Conclui-se que uma base de \mathrm{span}(M) é \{v_{1},v_{3}\}. O vetor v_{2} é dependente porque v_{2}=2v_{1}, logo não é necessário para gerar o espaço.
  3. Sobre independência: como há m=3 vetores e o rank r=2<3, os vetores são linearmente dependentes.]

Passo 7

Dicas rápidas e lembretes para fazer isso rápido na prova:
  • Sempre coloque os vetores como colunas (a menos que queiram a base do espaço gerado pelas linhas; nesse caso coloque como linhas).
  • Faça eliminação por linhas com cuidado e mantenha rastreio dos pivôs por coluna.
  • Não esqueça: a base é formada pelos vetores originais nas colunas-pivô.
  • Para decidir LI: verifique se o número de pivôs é igual ao número de vetores.
  • Se precisar apenas saber se são LI, você pode parar quando encontrar uma coluna sem pivô (já sabe que são dependentes).

Resposta

Forme a matriz A cujas colunas são os vetores de M, aplique eliminação por linhas até obter forma escalonada e escolha como base de V os vetores originais correspondentes às colunas-pivô da matriz escalonada.
Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é linearmente independente se, ao colocá‑los como colunas em uma matriz A e escalonar, cada coluna contém um pivô (ou seja, \mathrm{rank}(A)= número de vetores).

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