Dado um conjunto
de números racionais, mostre que, para provar que o mesmo é denso, basta verificarmos que sempre que escolhermos dois elementos de
, sempre existe pelo menos um elemento de
entre eles.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto
, basta verificar que sempre que escolhemos dois racionais há um elemento de
entre eles, para concluir que
é denso. O conteúdo aqui é densidade de conjuntos em
e a densidade clássica de
em
. Vamos usar a definição de “conjunto denso” e o fato de que
é denso em
.
Passo 2
Definição de denso em
:
Passo 3
Lembramos que
é denso em
, ou seja,
Na prática, podemos até achar dois racionais
com
se precisarmos de um “intervalo racional interno”.
Passo 4
Suponha a hipótese do enunciado:
Agora, dado quaisquer
em
, usamos a densidade de
em
para encontrar
Pela hipótese, existe
com
e portanto
Isso mostra que entre quaisquer reais
e
há um elemento de
.
Resposta
Como vimos, usando a densidade de
em
e a condição entre dois racionais, concluímos que
satisfaz a definição de densidade em
. Portanto, para provar que
é denso em
basta verificar que entre quaisquer
em
já existe um elemento de
.