Dado um conjunto A de números racionais, mostre que, para provar que o mesmo é denso, basta verificarmos que sempre que escolhermos dois elementos de Q, sempre existe pelo menos um elemento de A entre eles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto AsubsetQ, basta verificar que sempre que escolhemos dois racionais há um elemento de A entre eles, para concluir que A é denso. O conteúdo aqui é densidade de conjuntos em R e a densidade clássica de Q em R. Vamos usar a definição de “conjunto denso” e o fato de que Q é denso em R.

Passo 2

Definição de denso em R:
AsubsetR é denso em R Long<=ftrightarrow forall,a,binR,,a<b,;exists,xin A tal que a<x<b é

Passo 3

Lembramos que Q é denso em R, ou seja,
forall,a,binR,,a<b,;exists,qinQ com a<q<b
Na prática, podemos até achar dois racionais q1,q2 com
a<q1<q2<b,
se precisarmos de um “intervalo racional interno”.

Passo 4

Suponha a hipótese do enunciado:
forall,r1,r2inQ,,r1<r2,;exists,xin A com r1<x<r2
Agora, dado quaisquer a<b em R, usamos a densidade de Q em R para encontrar
q1,q2inQ tais que a<q1<q2<b
Pela hipótese, existe xin A com
q1<x<q2,
e portanto
a<x<b
Isso mostra que entre quaisquer reais a e b há um elemento de A.

Resposta

Como vimos, usando a densidade de Q em R e a condição entre dois racionais, concluímos que A satisfaz a definição de densidade em R. Portanto, para provar que A é denso em R basta verificar que entre quaisquer r1<r2 em Q já existe um elemento de A.

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