(Retirado do livro Matemática Atual, de Antônio José Lopes Bigode,
série, Ed.Atual, 1994)
Dar três exemplos de subconjuntos de
:
i). que sejam densos;
ii). que não sejam densos.
Dar três exemplos de subconjuntos de
i). que sejam densos;
ii). que não sejam densos.
Passo 1
O enunciado pede para darmos três exemplos de subconjuntos de
que sejam densos em
e outros três que não sejam densos. Aqui o conceito de “denso” em
significa que, para todo
e todo
, existe
no subconjunto tal que
.
Passo 2
Exemplos de conjuntos densos em
:
.
inteiro. Obviamente
é denso em si mesmo, pois para todo
e todo
podemos escolher
.
. Os racionais dí’adicos
Sabemos que os dí’adicos são densos em
, logo aproximam arbitrariamente bem qualquer real e, em particular, qualquer racional.
. Os racionais de base
Pelo mesmo motivo: eles formam uma sequência que se aproxima de qualquer real, portanto de qualquer racional em
.
Passo 3
Exemplos de conjuntos que não são densos em
:
. Os inteiros
Se tomarmos
e
, o intervalo
não contém nenhum inteiro.
. Os racionais entre
e
Qualquer
tem entorno de raio pequeno que não atinge
, logo
não é denso em todo
.
. A sequência
Por exemplo, para
e
não há
em
.
Resposta
Exemplos de subconjuntos de
densos em
:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Exemplos de subconjuntos de
que não são densos em
:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)