(Retirado do livro Matemática Atual, de Antônio José Lopes Bigode, 7^a série, Ed.Atual, 1994)
Dar três exemplos de subconjuntos de Q :
i). que sejam densos;
ii). que não sejam densos.

Passo 1

O enunciado pede para darmos três exemplos de subconjuntos de Q que sejam densos em Q e outros três que não sejam densos. Aqui o conceito de “denso” em Q significa que, para todo xinQ e todo epsilon>0, existe y no subconjunto tal que lvert x - yrvert<epsilon.

Passo 2

Exemplos de conjuntos densos em Q:
1. Q inteiro. Obviamente Q é denso em si mesmo, pois para todo xinQ e todo epsilon>0 podemos escolher y=x.
2. Os racionais dí’adicos
D2 = l,tfracm2^nmid minZ,;ninNr
Sabemos que os dí’adicos são densos em R, logo aproximam arbitrariamente bem qualquer real e, em particular, qualquer racional.
3. Os racionais de base 5
D5 = l,tfracm5^nmid minZ,;ninNr
Pelo mesmo motivo: eles formam uma sequência que se aproxima de qualquer real, portanto de qualquer racional em Q.

Passo 3

Exemplos de conjuntos que não são densos em Q:
1. Os inteiros
ZsubsetQ
Se tomarmos x=tfrac12inQ e epsilon=tfrac14, o intervalo l(tfrac12-tfrac14,tfrac12+tfrac14r)=(0,25,0,75) não contém nenhum inteiro.
2. Os racionais entre 0 e 1
R[0,1] = Qcap[0,1]
Qualquer x>1 tem entorno de raio pequeno que não atinge [0,1], logo R[0,1] não é denso em todo Q.
3. A sequência 1/n
S = ltfrac1nmid ninNr
Por exemplo, para x=2 e epsilon=0,1 não há 1/n em (1,9,2,1).

Resposta

Exemplos de subconjuntos de Q densos em Q:
(a) Q
(b) m/2^n : minZ,ninN
(c) m/5^n : minZ,ninN
Exemplos de subconjuntos de Q que não são densos em Q:
(a) Z
(b) Qcap[0,1]
(c) 1/n : ninN

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