É dado um conjunto de objetos junto com operações de adição e multiplicação por escalar. Determine se o conjunto abaixo é um espaço vetorial com as operaçōes dadas. Caso não seja, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os pares (x, y) de números reais com as operações
(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x x^prime, y y^prime) e k(x, y)=(k x, k y)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V=(x,y)mid x,yinR com a “adição”
(x,y)+(x',y')=(x,x',,y,y')
e a multiplicação por escalar usual
k,(x,y)=(k,x,,k,y)
Queremos ver se isso satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos os axiomas relativos à adição:
  1. Fechamento: (x,x',y,y')in V. OK.
  2. Comutatividade: x,x'=x',x e y,y'=y',y. OK.
  3. Associatividade:
l((x,y)+(x',y')r)+(x'',y'') =(x x',y y')+(x'',y'') =(x x' x'',,y y' y'')
é igual a
(x,y)+l((x',y')+(x'',y'')r) =(x,y)+(x' x'',y' y'') =(x x' x'',,y y' y'')
OK.
4. Existência de elemento neutro: queremos (e1,e2) tal que (x,y)+(e1,e2)=(x,y). Isso dá x,e1=x e y,e2=y para todo x,y, logo e1=e2=1. Neutro é (1,1). OK.
5. Existência de inverso aditivo: para (x,y) precisaria (u,v) tal que (x,u,y,v)=(1,1), isto é u=1/x e v=1/y. Isso não existe quando x=0 ou y=0. Portanto falha o axioma do inverso aditivo.

Passo 3

Agora os axiomas de multiplicação por escalar:
  1. Fechamento: k,(x,y)=(k x,k y)in V. OK.
  2. Identidade escalar: 1,(x,y)=(x,y). OK.
  3. Compatibilidade com produto de escalares:
(kell),(x,y)=(kell x,kell y) e kl(ell,(x,y)r)=k,(ell x,ell y)=(kell x,kell y)
OK.
4. Distributividade sobre adição de vetores:
kl((x,y)+(x',y')r) =k,(x x',y y')=(k x x',,k y y'),
enquanto
k,(x,y)+k,(x',y') =(k x,k y)+(k x',k y') =(k xcdot k x',,k ycdot k y') =(k^2 x x',,k^2 y y'),
que não coincide com (k x x',k y y') a menos de casos especiais. Logo falha.
5. Distributividade sobre soma de escalares:
(k+ell),(x,y)=((k+ell)x,,(k+ell)y),
porém
k,(x,y)+ell,(x,y) =(k x,k y)+(ell x,ell y) =(k xcdotell x,;k ycdotell y) =(kell x^2,;kell y^2),
que novamente não coincide com ((k+ell)x,(k+ell)y). Logo falha também.

Passo 4

Como não existe inverso aditivo para vetores com coordenada zero, e falham as duas leis de distributividade da multiplicação escalar, concluímos que V não é espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial. Falham os seguintes axiomas:
  • Existência de inverso aditivo para todo vetor.
  • Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores: k(v+w)=kv+kw.
  • Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares: (k+ell)v=kv+ell v.

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