É dado um conjunto de objetos junto com operações de adição e multiplicação por escalar. Determine se o conjunto abaixo é um espaço vetorial com as operaçōes dadas. Caso não seja, liste todos os axiomas que falham.
O conjunto de todos os pares
de números reais com as operações
O conjunto de todos os pares
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a “adição”
e a multiplicação por escalar usual
Queremos ver se isso satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos os axiomas relativos à adição:
- Fechamento:
. OK. - Comutatividade:
e . OK. - Associatividade:
é igual a
OK.
4. Existência de elemento neutro: queremos tal que
. Isso dá
e
para todo
, logo
. Neutro é
. OK.
5. Existência de inverso aditivo: para precisaria
tal que
, isto é
e
. Isso não existe quando
ou
. Portanto falha o axioma do inverso aditivo.
4. Existência de elemento neutro: queremos
5. Existência de inverso aditivo: para
Passo 3
Agora os axiomas de multiplicação por escalar:
- Fechamento:
. OK. - Identidade escalar:
. OK. - Compatibilidade com produto de escalares:
OK.
4. Distributividade sobre adição de vetores:
4. Distributividade sobre adição de vetores:
enquanto
que não coincide com
a menos de casos especiais. Logo falha.
5. Distributividade sobre soma de escalares:
5. Distributividade sobre soma de escalares:
porém
que novamente não coincide com
. Logo falha também.
Passo 4
Como não existe inverso aditivo para vetores com coordenada zero, e falham as duas leis de distributividade da multiplicação escalar, concluímos que
não é espaço vetorial.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial. Falham os seguintes axiomas:
- Existência de inverso aditivo para todo vetor.
- Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores:
. - Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
.