( 3,0 pts ) Dada a elipse 4 x^2+9 y^2-8 x-32=0,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
4x^2 + 9y^2 - 8x - 32 = 0
e pede (a) a forma reduzida, o centro e os vértices; (b) os focos e a excentricidade; (c) um esboço do gráfico.
Conteúdo: análise de cônicas por completamento de quadrado para obter a forma padrão de uma elipse.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos o quadrado em x:
4l(x^2-2xr) ;+;9y^2 ;-;32 = 0
Dentro do parêntese em x vemos x^2-2x = (x-1)^2-1. Substituindo:
4l((x-1)^2-1r) + 9y^2 - 32 = 0 ;Longrightarrow; 4(x-1)^2 - 4 + 9y^2 - 32 = 0 ;Longrightarrow; 4(x-1)^2 + 9y^2 = 36

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 36 obtemos a forma reduzida:
(x-1)^29 ;+;y^24 = 1
Dessa forma, o centro é C=(1,0). Comparando com
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1,
vemos a^2=9, b^2=4, ou seja, a=3, b=2. Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo x:
V1 = (1-3,,0) = (-2,,0), V2 = (1+3,,0) = (4,,0)
Os co-vértices (extremos do eixo menor) são
(1,,0-2) = (1,,-2), (1,,0+2) = (1,,2)

Passo 5

Para os focos calculamos
c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5, c = raiz5
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
F1 = (1 - raiz5,,0), F2 = (1 + raiz5,,0)
A excentricidade é
e = ca = raiz53

Passo 6

Esboço do gráfico:
a) Centro em C=(1,0).
b) Vértices em (-2,0) e (4,0).
c) Co-vértices em (1,-2) e (1,2).
d) Focos em l(1pmraiz5,0r).
Traçando o contorno elíptico passando pelos vértices e co-vértices, alinhado horizontalmente, temos o esboço completo.

Resposta

(a) Forma reduzida
(x-1)^29 + y^24 = 1,
centro C=(1,0), vértices (-2,0) e (4,0).
(b) Focos l(1pmraiz5,0r), excentricidade e=tfracraiz53.
(c) Esboço conforme descrito no passo 6.

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