(
) Dada a elipse
,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede (a) a forma reduzida, o centro e os vértices; (b) os focos e a excentricidade; (c) um esboço do gráfico.
Conteúdo: análise de cônicas por completamento de quadrado para obter a forma padrão de uma elipse.
Conteúdo: análise de cônicas por completamento de quadrado para obter a forma padrão de uma elipse.
Passo 2
Agrupamos termos em
e
e completamos o quadrado em
:
Dentro do parêntese em
vemos
. Substituindo:
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma reduzida:
Dessa forma, o centro é
. Comparando com
vemos
,
, ou seja,
,
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 4
Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
Os co-vértices (extremos do eixo menor) são
Passo 5
Para os focos calculamos
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
A excentricidade é
Passo 6
Esboço do gráfico:
a) Centro em .
b) Vértices em e
.
c) Co-vértices em e
.
d) Focos em .
Traçando o contorno elíptico passando pelos vértices e co-vértices, alinhado horizontalmente, temos o esboço completo.
a) Centro em
b) Vértices em
c) Co-vértices em
d) Focos em
Traçando o contorno elíptico passando pelos vértices e co-vértices, alinhado horizontalmente, temos o esboço completo.
Resposta
(a) Forma reduzida
centro
, vértices
e
.
(b) Focos , excentricidade
.
(c) Esboço conforme descrito no passo 6.
(b) Focos
(c) Esboço conforme descrito no passo 6.