identifica e descrever a superficie de equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para identificar e descrever a superfície definida por x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 4z + 28 = 0 . A gente precisa usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos de x e y para reescrever a equação de uma forma mais clara.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 8x + 4y^2 - 8y - 4z + 28 = 0
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y .

Passo 3

Para completar o quadrado em x :
  • Pegamos os termos x^2 + 8x .
  • Metade do coeficiente de x é 4 , e 4^2 = 16 .
  • Adicionamos e subtraímos 16:
x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para y :
  • Temos 4y^2 - 8y . Primeiro, fatoramos o 4:
4(y^2 - 2y)
  • Metade do coeficiente de y dentro do parêntese é 1 , e 1^2 = 1 .
  • Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
4(y^2 - 2y + 1 - 1) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4

Passo 5

Substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
(x + 4)^2 - 16 + 4(y - 1)^2 - 4 - 4z + 28 = 0
Simplificamos os termos constantes:
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 4z + ( -16 - 4 + 28 ) = 0
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 4z + 8 = 0

Passo 6

Isolamos o termo com z :
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 + 8 = 4z
Dividimos todos os termos por 4 para simplificar:
(x + 4)^24 + 4(y - 1)^24 + 84 = z
(x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2 = z

Passo 7

Vamos reescrever a equação para destacarmos a forma padrão:
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2
Isso mostra que a equação representa uma superfície parabólica, já que temos z isolado com termos quadráticos em x e y .

Resposta

A superfície dada pela equação x^2 + 4y^2 + 8x - 8y - 4z + 28 = 0 é um paraboloide elíptico. Ela tem seu vértice deslocado para o ponto (-4, 1, 2) e se abre na direção positiva do eixo z . A forma final da equação é:
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2

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