identifica e descrever a superficie de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para identificar e descrever a superfície definida por
. A gente precisa usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos de
e
para reescrever a equação de uma forma mais clara.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
:
- Pegamos os termos
. - Metade do coeficiente de
é , e . - Adicionamos e subtraímos 16:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para
:
- Temos
. Primeiro, fatoramos o 4:
- Metade do coeficiente de
dentro do parêntese é , e . - Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Passo 6
Isolamos o termo com
:
Dividimos todos os termos por 4 para simplificar:
Passo 7
Vamos reescrever a equação para destacarmos a forma padrão:
Isso mostra que a equação representa uma superfície parabólica, já que temos
isolado com termos quadráticos em
e
.
Resposta
A superfície dada pela equação
é um paraboloide elíptico. Ela tem seu vértice deslocado para o ponto
e se abre na direção positiva do eixo
. A forma final da equação é: