Duas placas metálicas estão nas temperaturas de 293 K e 303 K . Na temperatura de 333 K suas áreas se incrementam em 2 \% e 3 \% respectivamente. Encontrar a relação entre os coeficientes de dilatação linear de ambas as placas metálicas.

Passo 1

O enunciado dá duas placas metálicas cujas temperaturas iniciais são T_{1}=293 K e T_{2}=303 K. Ambas são levadas à temperatura final T_f=333 K, e observamos que suas áreas se expandem em 2\% e 3\%, respectivamente.
O conteúdo que vamos usar é dilatação superficial: para pequenas variações térmicas, a variação relativa de área satisfaz
\frac{\Delta A}{A}= \beta\,\Delta T,
onde \beta é o coeficiente de dilatação superficial, e temos \beta = 2\alpha, sendo \alpha o coeficiente de dilatação linear.

Passo 2

Para a placa 1, a variação de temperatura é
\Delta T_{1}=T_f - T_{1}=333-293=40\text{ K}.
Como \Delta A/A=0{,}02 e \beta_1=2\alpha_1, escrevemos
0{,}02 = \beta_1\,\Delta T_{1} = 2\alpha_1\cdot 40.
Logo
\alpha_1 = \frac{0{,}02}{2\cdot 40} = \frac{0{,}02}{80} = 2{,}5\times10^{-4}\,\text{K}^{-1}.

Passo 3

Para a placa 2, a variação de temperatura é
\Delta T_{2}=T_f - T_{2}=333-303=30\text{ K}.
Aqui \Delta A/A=0{,}03 e \beta_2=2\alpha_2, então
0{,}03 = 2\alpha_2\cdot 30
e
\alpha_2 = \frac{0{,}03}{2\cdot 30} = \frac{0{,}03}{60} = 5{,}0\times10^{-4}\,\text{K}^{-1}.

Passo 4

A relação entre os coeficientes é
\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2{,}5\times10^{-4}}{5{,}0\times10^{-4}} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_2 = 2\,\alpha_1.

Resposta

\alpha_1:\alpha_2 = 1:2 (ou \alpha_2 = 2\,\alpha_1).

Exercícios relacionados