Find f_{x}, f_{y}, and f_{z}.
f(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}
e pede as derivadas parciais f_{x}, f_{y} e f_{z}. O conteúdo aqui é a regra da cadeia em funções compostas: uma exponencial cujo expoente é -\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
g(u)=e^{u},\quad u=h(x,y,z)=-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{dg}{du}\Bigl|_{u=h(x,y,z)}\;\frac{\partial h}{\partial x} =e^{h(x,y,z)}\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\bigr].

Passo 3

Calculamos \partial h/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\bigr]=-2x.
Logo,
f_{x}=-2x\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}.

Passo 4

Por simetria, para y temos
\frac{\partial h}{\partial y}=-2y
e assim
f_{y}=-2y\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}.

Passo 5

Do mesmo modo, em z
\frac{\partial h}{\partial z}=-2z
e
f_{z}=-2z\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}.

Resposta

f_{x}=-2x\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)} f_{y}=-2y\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)} f_{z}=-2z\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}

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