Determine a posição relativa e, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2, onde:
(a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5 e r2:ly=-3 x+7 z=x+1
(b) r1: x-32=y+1-3=z-24 e r2:lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t
(c) r1:ly=2 x-3 z=-x-10 e r2: x=y-43=z+1-2
(d) r1:lx=2-t y=3-5 t z=6-6 t e r2:lx=-3+6 h y=1+7 h z=-1+13 h
(e) r1:(x, y, z)=(2,4,1)+t(1,-2,3) e r2:(x, y, z)=(-1,2,5)+t(4,3,-2)
(f) r1:lx=2+t y=4-t z=-t e r2:ly=6-x z=2-x

Passo 1

Temos seis pares de retas em R^3. Para cada par, vamos:
  1. Escrever cada reta em forma paramétrica (x,y,z) = P + t,v, extraindo ponto P e vetor direção v.
  2. Verificar se os vetores direção são paralelos (se um é múltiplo escalar do outro).
  3. Se não forem paralelos, igualar coordenadas para resolver o sistema em t e s; se houver solução comum, é ponto de interseção, senão são retas reversas (skew).
  4. Se forem paralelos, checar se um ponto de uma reta pertence à outra; se sim são coincidentes, senão paralelas distintas.

Passo 2

(a)
r 1: deixar x=t, então
l(x,y,zr)=(t,2t-3,-t+5), v1=(1,2,-1).
r 2: deixar x=s, então
l(x,y,zr)=(s,-3s+7,s+1), v2=(1,-3,1).
v1 e v2 não são paralelos. Igualando
t=s,
2t-3=-3s+7implies5s=10implies s=2,
z dá 3 em ambas.
Interseção em ,(2,1,3).

Passo 3

(b)
r 1:
x-32=y+1-3=z-24=t
Rightarrow(x,y,z)=(3+2t,,-1-3t,,2+4t), v1=(2,-3,4).
r 2:
(x,y,z)=(-1+s,;4-s,;-8+3s), v2=(1,-1,3).
Não paralelas. Igualando
3+2t=-1+s,;-1-3t=4-s,;2+4t=-8+3s
implies t=-1,;s=2 comum a todas.
Interseção em ,(1,2,-2).

Passo 4

(c)
r 1: x=t, (x,y,z)=(t,2t-3,-t-10), v1=(1,2,-1).
r 2: deixar parâmetro s:
y-43=simplies y=4+3s,;z+1-2=simplies z=-1-2s,;x=s,
(x,y,z)=(s,4+3s,-1-2s), v2=(1,3,-2).
Não paralelas. Igualando t=s e as demais coordenas dá contradição em z.
São retas reversas (skew).

Passo 5

(d)
r 1: (x,y,z)=(2-t,,3-5t,,6-6t), v1=(-1,-5,-6).
r 2: (x,y,z)=(-3+6h,,1+7h,,-1+13h), v2=(6,7,13).
Não paralelas. Igualando coordenas resolve
t=-1,;h=1 consistente.
Interseção em ,(3,8,12).

Passo 6

(e)
r 1: (2,4,1)+t(1,-2,3), v1=(1,-2,3).
r 2: (-1,2,5)+s(4,3,-2), v2=(4,3,-2).
Não paralelas. Igualando coordenadas dá contradição em z.
São retas reversas (skew).

Passo 7

(f)
r 1: (x,y,z)=(2+t,,4-t,,-t), v1=(1,-1,-1).
r 2: deixar x=simplies(x,y,z)=(s,6-s,2-s), v2=(1,-1,-1).
v1paral<=l v2. Verifica-se que para t=0 em r 1 obtemos (2,4,0) que pertence a r 2 (com s=2).
São coincidentes.

Resposta

(a) Interseção em (2,1,3).
(b) Interseção em (1,2,-2).
(c) Retas reversas (skew), sem ponto comum.
(d) Interseção em (3,8,12).
(e) Retas reversas (skew), sem ponto comum.
(f) Coincidentes.

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