Tendo os vetores (1-x, x, 1),(0, x, 1),(0,1,-2) qual deverá ser o valor de x para que esse conjunto seja NÃO seja uma base do R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3 que dependem de um parâmetro x:
v1 = (1 - x,,x,,1), v2 = (0,,x,,1), v3 = (0,,1,,-2)
Pergunta-se para quais valores de x esse conjunto não é base de R^3. O conteúdo necessário é o teste de independência linear pelo determinante: o conjunto deixa de ser base exatamente quando esses vetores são linearmente dependentes, isto é, quando o determinante da matriz formada por eles é zero.

Passo 2

Lembrando que três vetores em R^3 formam base se, e somente se, são linearmente independentes. Um critério prático é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e exigir que seu determinante seja não nulo. Logo, para que não formem base, basta achar x tal que
det(M)=0,
onde
M = 1 - x & x & 1 0 & x & 1 0 & 1 & -2

Passo 3

Vamos calcular det(M) expandindo pela primeira linha:
det(M) = (1 - x),det!x & 1[6pt]1 & -2 - x,det!0 & 1[6pt]0 & -2 + 1;det!0 & x[6pt]0 & 1
Agora cada menor:
det!x & 11 & -2 = xcdot(-2) - 1cdot1 = -2x - 1,
det!0 & 10 & -2 = 0cdot(-2) - 1cdot0 = 0,
det!0 & x0 & 1 = 0cdot1 - xcdot0 = 0
Substituindo:
det(M) = (1 - x),(-2x - 1) - xcdot0 + 1cdot0 = (1 - x),(-2x - 1)
Fazendo a multiplicação,
det(M) = -2x - 1 + 2x^2 + x = 2x^2 - x - 1 ]

Passo 4

O conjunto não é base exatamente quando det(M)=0. Assim, resolvemos
2x^2 - x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot2cdot(-1)2cdot2 = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34
Isso dá as raízes
x = 1 + 34 = 1 ou x = 1 - 34 = -tfrac12

Passo 5

Concluímos que, para x = 1 ou x = -tfrac12, os três vetores ficam linearmente dependentes e, portanto, não formam base em R^3.

Resposta

Os valores de x para os quais o conjunto não é base são
x = 1 e x = -12

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