Dado o conjunto de vetores
no espaço
, onde:
-
é um conjunto linearmente independente.
-
e
.
-
e
não estão na mesma reta.
Considere o vetor
.
Mostre que o conjunto
é linearmente dependente.
Considere o vetor
Mostre que o conjunto
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
que são linearmente independentes (logo nem um é múltiplo do outro) e define
. O tema é dependência linear em espaços vetoriais: queremos mostrar que
é linearmente dependente.
Passo 2
Lembrando a definição: um conjunto
é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, tais que
Caso contrário, é independente (só a combinação trivial
dá zero).
Passo 3
Vamos testar uma combinação genérica
Como
, substituímos e obtemos
Passo 4
Como
é independente, só a combinação trivial anula:
então
e
. Isso mostra que podemos escolher, por exemplo,
,
,
, obtendo
que é uma relação não trivial. Logo
é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente, pois
é uma combinação linear não trivial que zera.