Dado o conjunto de vetores V1, V2 no espaço R^3, onde:
  1. V1, V2 é um conjunto linearmente independente.
  2. V1 neq 0 e V2 neq 0.
  3. V1 e V2 não estão na mesma reta.
    Considere o vetor V3=V1+V2.
    Mostre que o conjunto V1, V2, V3 é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores V1,V2inR^3 que são linearmente independentes (logo nem um é múltiplo do outro) e define V3=V1+V2. O tema é dependência linear em espaços vetoriais: queremos mostrar que V1,V2,V3 é linearmente dependente.

Passo 2

Lembrando a definição: um conjunto u1,u2,dots,uk é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, tais que
a1u1+a2u2+cdots+akuk=0
Caso contrário, é independente (só a combinação trivial a1=cdots=ak=0 dá zero).

Passo 3

Vamos testar uma combinação genérica
a,V1 ;+; b,V2 ;+; c,V3 ;=;0
Como V3=V1+V2, substituímos e obtemos
a,V1 + b,V2 + c,(V1+V2) =;(a+c),V1 ;+;(b+c),V2 =;0

Passo 4

Como V1,V2 é independente, só a combinação trivial anula:
a+c=0 e b+c=0
então a=-c e b=-c. Isso mostra que podemos escolher, por exemplo, c=1, a=-1, b=-1, obtendo
(-1),V1 + (-1),V2 + 1cdot V3 = 0,
que é uma relação não trivial. Logo V1,V2,V3 é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto V1,V2,V3 é linearmente dependente, pois
-V1 - V2 + V3 = 0
é uma combinação linear não trivial que zera.

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