Dado o conjunto de vetores v1, v2, v3 no espaço R^3, onde:
v1=[l 1 2 3 ], v2=[l 2 4 6 ], v3=[l 3 6 9 ]
Determine se o conjunto de vetores v1, v2, v3 é linearmente independente ou linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1 = 123, v2 = 246, v3 = 369,
e pede para determinar se o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente ou dependente. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Lembrando a definição: vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = 0
Caso a única solução seja alpha=beta=gamma=0, dizemos que são linearmente independentes.

Passo 3

Note que cada coordenada de v2 é o dobro da de v1, e cada coordenada de v3 é o triplo da de v1. Em outras palavras:
v2 = 2,v1, v3 = 3,v1

Passo 4

Das relações acima segue uma combinação não trivial que dá o vetor zero. Por exemplo,
2,v1 - 1,v2 + 0,v3 = 2,v1 - v2 = 2,v1 - 2,v1 = 0
Aqui alpha=2, beta=-1, gamma=0 não são todos nulos e produzem a combinação nula, então os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente.

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