Dado o conjunto de vetores V1, V2 no espaço R^3, onde:
  1. V1, V2 é um conjunto linearmente independente.
  2. V1 neq 0 e V2 neq 0.
  3. V1 e V2 não estão na mesma reta.
    Considere o vetor V3=V1+V2.
    Explique por que V3 pertence ao plano gerado por V1 e V2.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores V1,V2inR^3 que são linearmente independentes e, portanto, geram um plano em R^3. Por “plano gerado por V1 e V2” entendemos o conjunto
SpanV1,V2 =alpha V1+beta V2mid alpha,betainR
Ele contém exatamente todas as combinações lineares de V1 e V2.

Passo 2

Queremos mostrar que
V3=V1+V2
é um vetor desse plano. Basta reconhecer que em V3 os coeficientes da combinação linear são alpha=1 e beta=1. Logo
V3=1cdot V1+1cdot V2,
o que encaixa exatamente na forma alpha V1+beta V2. Portanto V3 pertence ao espaço gerado por V1 e V2.

Resposta

V3inSpanV1,V2, pois V3=1cdot V1+1cdot V2.

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