Verifique se o conjunto B=(1,0,-1),(1,1,-1),(2,0,0) é uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
;B=(1,0,-1),,(1,1,-1),,(2,0,0)
é uma base de R^3. Em R^3 um conjunto com três vetores é base se e somente se esses vetores forem linearmente independentes (ou, equivalentemente, o determinante da matriz formada por eles for não nulo).

Passo 2

Vamos formar a matriz M cujas colunas são os vetores de B:
M = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 -1 & -1 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de M pela expansão de Laplace na primeira linha:
det(M) =1cdotdet1 & 0 -1 & 0 -1cdotdet0 & 0 -1 & 0 +2cdotdet0 & 1 -1 & -1

Passo 4

Avaliamo-os separadamente:
det1 & 0 -1 & 0 =1cdot0 - 0cdot(-1)=0, det0 & 0 -1 & 0 =0cdot0 - 0cdot(-1)=0,
det0 & 1 -1 & -1 =0cdot(-1) - 1cdot(-1)=1
Substituindo,
det(M)=1cdot0 - 1cdot0 + 2cdot1 = 2 neq 0

Passo 5

Como det(M)neq 0, os vetores são linearmente independentes. Em R^3, três vetores independentes formam automaticamente uma base (eles também geram todo o espaço).

Resposta

O conjunto B é uma base de R^3.

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