Dado o conjunto W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right] ; a, b, c \in \mathbb{R}\right\}
a) Mostre que W é um sub-espaço vetorial.
b) Determine uma base de W.

Passo 1

O enunciado define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & c\end{pmatrix} \;\middle|\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
e pede (a) provar que W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) e (b) encontrar uma base de W. Vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado em soma e múltiplo escalar) e depois expressar um elemento genérico de W como combinação linear de matrizes “canônicas”.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio, pois a matriz nula
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
corresponde a a=0, b=0, c=0 e está em W.

Passo 3

Tomemos
X = \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ 0 & c_1\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ 0 & c_2\end{pmatrix}
em W. Então
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\\ 0 & c_1+c_2\end{pmatrix}
também tem forma \bigl(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2\bigr), logo X+Y\in W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Se \lambda\in\mathbb{R} e
X = \begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & c\end{pmatrix}\in W,
então
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\\ 0 & \lambda c\end{pmatrix}
ainda tem a entrada (2,1) igual a zero, logo \lambda X\in W. Assim, W é fechado sob múltiplo escalar.

Passo 5

Como W contém o zero e é fechado em soma e multiplicação por escalares, concluímos que W é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Passo 6

Para encontrar uma base de W, note que um elemento genérico
\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & c\end{pmatrix}
pode ser escrito como
a\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \;+\; b\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \;+\; c\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso mostra que
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
geram W.

Passo 7

É imediato ver que E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial produz a matriz zero), e como geram todos os elementos de W, elas formam uma base de W.

Resposta

Uma base de W é dada por
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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