Dado o conjunto W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right] ; a, b, c \in \mathbb{R}\right\}
a) Mostre que W é um sub-espaço vetorial.
b) Determine uma base de W.
Passo 1
O enunciado define
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & c\end{pmatrix} \;\middle|\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
e pede (a) provar que W é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) e (b) encontrar uma base de W. Vamos usar o teste de subespaço (não vazio, fechado em soma e múltiplo escalar) e depois expressar um elemento genérico de W como combinação linear de matrizes “canônicas”.
Passo 2
Mostramos que W não é vazio, pois a matriz nula
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
corresponde a a=0, b=0, c=0 e está em W.
Passo 3
Tomemos
X = \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ 0 & c_1\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ 0 & c_2\end{pmatrix}
É imediato ver que E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial produz a matriz zero), e como geram todos os elementos de W, elas formam uma base de W.