Mostre que, se \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores linearmente dependentes e \vec{u} e \vec{v} não são paralelos entre si, então \vec{w} é combinação de linear de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado afirma que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes e que \vec{u} e \vec{v} não são paralelos entre si. O conteúdo principal é a definição de dependência linear e a noção de combinação linear de vetores.

Passo 2

Pela definição de dependência linear, existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos zero, tais que
\alpha\,\vec{u} \;+\;\beta\,\vec{v} \;+\;\gamma\,\vec{w} \;=\; \vec{0}.
Como \vec{u} e \vec{v} não são paralelos, eles são linearmente independentes. Logo, a única solução da equação
\alpha\,\vec{u} \;+\;\beta\,\vec{v} \;=\;\vec{0}
é \alpha=0 e \beta=0.

Passo 3

Se por acaso \gamma=0, a equação do Passo 2 se reduziria a \alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}=\vec{0}, forçando \alpha=\beta=0 e contradizendo que nem todos \alpha,\beta,\gamma são zero. Portanto \gamma\neq0.

Passo 4

Isolando \vec{w} em
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} = \vec{0}
e dividindo por \gamma, obtemos
\vec{w} \;=\; -\frac{\alpha}{\gamma}\,\vec{u}\;-\;\frac{\beta}{\gamma}\,\vec{v},
ou seja, \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

Resposta

\displaystyle \vec{w} = -\frac{\alpha}{\gamma}\,\vec{u} - \frac{\beta}{\gamma}\,\vec{v}.

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