Mostre que, se
e
são vetores linearmente dependentes e
e
não são paralelos entre si, então
é combinação de linear de
e
.
Passo 1
O enunciado afirma que
são linearmente dependentes e que
e
não são paralelos entre si. O conteúdo principal é a definição de dependência linear e a noção de combinação linear de vetores.
Passo 2
Pela definição de dependência linear, existem escalares
, não todos zero, tais que
Como
e
não são paralelos, eles são linearmente independentes. Logo, a única solução da equação
é
e
.
Passo 3
Se por acaso
, a equação do Passo 2 se reduziria a
, forçando
e contradizendo que nem todos
são zero. Portanto
.
Passo 4
Isolando
em
e dividindo por
, obtemos
ou seja,
é combinação linear de
e
.