Questão 1. (Valor 3,0) Sendo A: R^{3} \rightarrow R^{3} uma transformação linear representado pela matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\\\ 3 & 3 & -6 \\\\ -5 & -4 & 9\end{array}\right].
a) Determine uma base de N(T) e dimensão.
b) Determine, se existir, o vetor cuja imagem é w=(3,-3,0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\\\ 3 & 3 & -6\\\\ -5 & -4 & 9 \end{pmatrix}
e pede em (a) uma base de N(T)=\{x\mid Ax=0\} e sua dimensão, e em (b) resolver Ax = w para w = (3,-3,0). Vamos usar eliminação de Gauss para achar primeiro o núcleo e depois examinar a consistência de Ax=w.

Passo 2

Para encontrar N(T) montamos o sistema homogêneo Ax=0 e aplicamos eliminação:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 0\\\\ 3 & 3 & -6 & 0\\\\ -5 & -4 & 9 & 0 \end{array}\right) \;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 0\\\\ 0 & 3 & -3 & 0\\\\ 0 & -3 & 3 & 0 \end{array}\right) \;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 0\\\\ 0 & 3 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Da segunda linha vem 3x_2-3x_3=0, ou seja x_2 = x_3. Da primeira linha vem 2x_1 + x_2 -3x_3=0, isto é 2x_1 -2x_3=0 x_1=x_3. Tomando x_3 = t, obtemos
x = (x_1,x_2,x_3) = (t,t,t) = t\,(1,1,1)\,.

Passo 3

Logo o núcleo é
N(T) = \{\,t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\},
uma reta.
A dimensão de N(T) é \dim N(T)=1 e uma base é
\{(1,1,1)\}.

Passo 4

Agora resolvemos Ax = w com w=(3,-3,0). Montamos o sistema e aplicamos eliminação:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 3\\\\ 3 & 3 & -6 & -3\\\\ -5 & -4 & 9 & 0 \end{array}\right) \;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 3\\\\ 0 & 3 & -3 & -15\\\\ 0 & -3 & 3 & 15 \end{array}\right) \;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 3\\\\ 0 & 3 & -3 & -15\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Da segunda linha: 3x_2-3x_3=-15 x_2=x_3-5.
Da primeira: 2x_1 + x_2 -3x_3=3 2x_1 + (x_3-5)-3x_3=3 2x_1 = 8+2x_3 x_1=4+x_3.
Tomando x_3=t,
x = (4+t,\;t-5,\;t) = (4,-5,0) + t\,(1,1,1).
Não há contradição, então existem infinitas soluções.

Passo 5

Concluímos que w está no espaço imagem de A e o conjunto de todas as pré-imagens é
\{(4,-5,0) + t\,(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

a) Uma base de N(T) é \{(1,1,1)\} e \dim N(T)=1.
b) Existem infinitas soluções de Ax=w; uma delas é (4,-5,0), e de modo geral
x = (4,-5,0) + t\,(1,1,1),\quad t\in\mathbb{R}.

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