Questảo 3. (Valor 2,0) Considere os vetores Encontre uma transformação
cuja imagem seja gerada pelos vetores
. Determine uma base do núcleo da transformação. Utilize a base
do
.
Passo 1
O enunciado pede que construamos uma transformação linear
cuja imagem seja
e, em seguida, que encontremos uma base do núcleo de .
Para definir basta escolher as imagens dos vetores de uma base de
.
Foi dada a base
e, em seguida, que encontremos uma base do núcleo de
Para definir
Foi dada a base
Passo 2
Definimos
em
de modo que suas imagens gerem exatamente os vetores indicados e não adicionem mais dimensões à imagem. Assim, tomamos
Por linearidade, para todo
com coordenadas
obtemos
Passo 3
Verificamos a imagem de
: como
, segue
como desejado.
Passo 4
Para achar o núcleo, resolvemos
Os vetores
e
são linearmente independentes em
,
logo e
. O parâmetro
fica livre, e
logo
Passo 5
Concluímos que
e, portanto, uma base do núcleo é
e, portanto, uma base do núcleo é
Resposta
Uma possível definição de
em relação à base
é
e uma base de
é
.