Questảo 3. (Valor 2,0) Considere os vetores Encontre uma transformação T: R^{3} \rightarrow R^{4} cuja imagem seja gerada pelos vetores \{(1,1,0,1),(1,0,1,1)\}. Determine uma base do núcleo da transformação. Utilize a base B=\{(1,2,-1),(0,1,1),(1,3,0)\} do \mathrm{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que construamos uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 cuja imagem seja
\mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,1,0,1),(1,0,1,1)\}
e, em seguida, que encontremos uma base do núcleo de T.
Para definir T basta escolher as imagens dos vetores de uma base de \mathbb{R}^3.
Foi dada a base
B=\{b_1,b_2,b_3\} \quad\text{com}\quad b_1=(1,2,-1),\; b_2=(0,1,1),\; b_3=(1,3,0).

Passo 2

Definimos T em B de modo que suas imagens gerem exatamente os vetores indicados e não adicionem mais dimensões à imagem. Assim, tomamos
T(b_1)=(1,1,0,1), \qquad T(b_2)=(1,0,1,1), \qquad T(b_3)=(0,0,0,0).
Por linearidade, para todo x\in\mathbb{R}^3 com coordenadas
\bigl[x\bigr]_B=(\alpha,\beta,\gamma) obtemos
T(x) =\alpha\,T(b_1)+\beta\,T(b_2)+\gamma\,T(b_3) =\alpha\,(1,1,0,1)+\beta\,(1,0,1,1).

Passo 3

Verificamos a imagem de T: como
\{T(b_1),T(b_2),T(b_3)\}=\{(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,0,0,0)\}, segue
\mathrm{Im}(T) =\mathrm{span}\{(1,1,0,1),(1,0,1,1)\},
como desejado.

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\,(1,1,0,1)+\beta\,(1,0,1,1)=(0,0,0,0).
Os vetores (1,1,0,1) e (1,0,1,1) são linearmente independentes em \mathbb{R}^4,
logo \alpha=0 e \beta=0. O parâmetro \gamma fica livre, e
x=\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3 =\gamma\,b_3.

Passo 5

Concluímos que
\ker(T)=\{\gamma\,b_3\mid \gamma\in\mathbb{R}\}
e, portanto, uma base do núcleo é
\{\,b_3\} =\{(1,3,0)\}.

Resposta

Uma possível definição de T em relação à base B é
T(b_1)=(1,1,0,1),\quad T(b_2)=(1,0,1,1),\quad T(b_3)=(0,0,0,0),
e uma base de \ker(T) é \{(1,3,0)\}.

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