Exercício 6
Sejam
uma base ordenada do subespaço
e
. Sabemos que existem
tais que
pois
.
Mostre que a maneira como um vetor
se expressa como combinação linear dos elementos de
é única, isto é, se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado nos dá um subespaço
com base ordenada
e um vetor
. Como
é base, sabemos que existem escalares
tais que
A matéria envolvida é teoria de espaços vetoriais, em especial independência linear e unicidade de representação em uma base. O que se pretende provar é que, se também houver outra escrita
então necessariamente
para todo
.
Passo 2
Suponha que existam dois conjuntos de coeficientes
e
com
Subtraindo termo a termo, obtemos
Passo 3
Pela definição de base, os vetores
são linearmente independentes. Isso significa que, na combinação
todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 4
Da igualdade acima e da independência linear, segue que
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