Exercício 6

Sejam \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{k}\right\} uma base ordenada do subespaço \mathbb{W} \subseteq \mathbb{R}^{n} e \vec{w} \in \mathbb{W}. Sabemos que existem \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k} \in \mathbb{R} tais que
\vec{w}=\alpha_{1} \vec{v}_{1}+\alpha_{2} \vec{v}_{2}+\ldots+\alpha_{k} \vec{v}_{k},
pois \mathbb{W}=\left[\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{k}\right].
Mostre que a maneira como um vetor \vec{w} \in \mathbb{W} se expressa como combinação linear dos elementos de \beta é única, isto é, se \vec{w}=\alpha_{1} \vec{v}_{1}+\alpha_{2} \vec{v}_{2}+\ldots+\alpha_{k} \vec{v}_{k} e \vec{w}=\gamma_{1} \vec{v}_{1}+\gamma_{2} \vec{v}_{2}+\ldots+\gamma_{k} \vec{v}_{k}, então \alpha_{1}=\gamma_{1}, \alpha_{2}=\gamma_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\gamma_{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço \mathbb{W}\subseteq\mathbb{R}^n com base ordenada \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_k\} e um vetor \vec w\in\mathbb{W}. Como \beta é base, sabemos que existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k tais que
\vec w=\alpha_{1}\vec v_{1}+\alpha_{2}\vec v_{2}+\dots+\alpha_{k}\vec v_{k}.
A matéria envolvida é teoria de espaços vetoriais, em especial independência linear e unicidade de representação em uma base. O que se pretende provar é que, se também houver outra escrita
\vec w=\gamma_{1}\vec v_{1}+\gamma_{2}\vec v_{2}+\dots+\gamma_{k}\vec v_{k},
então necessariamente \alpha_i=\gamma_i para todo i.

Passo 2

Suponha que existam dois conjuntos de coeficientes \{\alpha_i\} e \{\gamma_i\} com
\vec w=\alpha_{1}\vec v_{1}+\alpha_{2}\vec v_{2}+\dots+\alpha_{k}\vec v_{k} \quad\text{e}\quad \vec w=\gamma_{1}\vec v_{1}+\gamma_{2}\vec v_{2}+\dots+\gamma_{k}\vec v_{k}.
Subtraindo termo a termo, obtemos
\vec 0 =(\alpha_{1}-\gamma_{1})\vec v_{1} +(\alpha_{2}-\gamma_{2})\vec v_{2} +\dots +(\alpha_{k}-\gamma_{k})\vec v_{k}.

Passo 3

Pela definição de base, os vetores \vec v_{1},\dots,\vec v_{k} são linearmente independentes. Isso significa que, na combinação
(\alpha_{1}-\gamma_{1})\vec v_{1} +(\alpha_{2}-\gamma_{2})\vec v_{2} +\dots +(\alpha_{k}-\gamma_{k})\vec v_{k} =\vec 0,
todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 4

Da igualdade acima e da independência linear, segue que
\alpha_{i}-\gamma_{i}=0 \quad\text{para todo }i=1,\dots,k.
Logo
\alpha_{i}=\gamma_{i} \quad\text{para todo }i=1,\dots,k.

Resposta

\alpha_{1}=\gamma_{1},\;\alpha_{2}=\gamma_{2},\;\dots,\;\alpha_{k}=\gamma_{k}.

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