Dado o conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0
a) Mostre que W é um sub-espaço vetorial.
b) Determine um gerador de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto W = (x, y, z) in R^3 mid x - 2y = 0 . O exercício pede para a gente:
a) Mostrar que W é um sub-espaço vetorial.
b) Encontrar um gerador para W .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e geradores. Pra resolver, vamos verificar as propriedades que definem um sub-espaço e depois encontrar vetores que geram W .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sub-espaço vetorial. Um sub-espaço de R^3 precisa cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) precisa estar em W .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em W , a soma desses vetores também está em W .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em W , qualquer múltiplo dele também está em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para W .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se (0, 0, 0) está em W .
Substituindo na equação x - 2y = 0 :
0 - 2 times 0 = 0
Então, (0, 0, 0) está em W . Primeira condição satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W , digamos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) .
Como estão em W , temos:
x1 - 2y1 = 0
x2 - 2y2 = 0
Somando os dois vetores:
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Vamos verificar se esse vetor também está em W :
(x1 + x2) - 2(y1 + y2) = (x1 - 2y1) + (x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma está em W . Segunda condição satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em W , (x, y, z) , e um escalar k .
Como (x, y, z) está em W , temos:
x - 2y = 0
Multiplicando por k :
kx - 2ky = k(x - 2y) = k times 0 = 0
Então, (kx, ky, kz) também satisfaz a condição x - 2y = 0 , ou seja, está em W . Terceira condição satisfeita.

Resposta

Concluímos que W é um sub-espaço vetorial de R^3 . Além disso, um gerador para W pode ser dado por um vetor que satisfaz a condição x - 2y = 0 . Por exemplo, podemos escolher y = 1 e z = t , onde t é qualquer real. Assim, um gerador é:
, (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,
Esses vetores geram todo o conjunto W .

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