Dado o conjunto
a) Mostre que
é um sub-espaço vetorial.
b) Determine um gerador de
.
a) Mostre que
b) Determine um gerador de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
. O exercício pede para a gente:
a) Mostrar que
é um sub-espaço vetorial.
b) Encontrar um gerador para
.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços e geradores. Pra resolver, vamos verificar as propriedades que definem um sub-espaço e depois encontrar vetores que geram
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sub-espaço vetorial. Um sub-espaço de
precisa cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma desses vetores também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se
está em
.
Substituindo na equação
:
Então,
está em
. Primeira condição satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Como estão em
, temos:
Somando os dois vetores:
Vamos verificar se esse vetor também está em
:
Então, a soma está em
. Segunda condição satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
,
, e um escalar
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando por
:
Então,
também satisfaz a condição
, ou seja, está em
. Terceira condição satisfeita.
Resposta
Concluímos que
é um sub-espaço vetorial de
. Além disso, um gerador para
pode ser dado por um vetor que satisfaz a condição
. Por exemplo, podemos escolher
e
, onde
é qualquer real. Assim, um gerador é:
Esses vetores geram todo o conjunto
.