Faça o que se pede
Verifique se o conjunto é linearmente independente (LI).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de funções e precisamos verificar se esse conjunto é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações. Precisaremos entender o que significa linearmente independente e como montar e resolver esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um conjunto de vetores (ou funções, no caso) é linearmente independente. Isso quer dizer que a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é se todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar se a equação
só admite a solução .
Passo 3
Agora, vamos expandir essa combinação linear:
Simplificando, obtemos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 4
Isso nos leva a um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Da primeira equação, já sabemos que a = 0 . Da segunda equação, 2b = 0 implica que b = 0 . Substituindo a = 0 na quarta equação, temos 0 - c = 0 , ou seja, c = 0 . Finalmente, substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação, confirmamos que 0 + 0 + c = 0 , o que também dá c = 0 .
Resposta
Como a única solução do sistema é a = b = c = 0 , o conjunto V = 1 - t^2 + t^3, , 2t + t^2, , t^2 - t^3 é linearmente independente.