Faça o que se pede
Verifique se o conjunto V=1-t^2+t^3, 2 t+t^2, t^2-t^3 é linearmente independente (LI).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de funções V = 1 - t^2 + t^3, , 2t + t^2, , t^2 - t^3 e precisamos verificar se esse conjunto é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações. Precisaremos entender o que significa linearmente independente e como montar e resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um conjunto de vetores (ou funções, no caso) é linearmente independente. Isso quer dizer que a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é se todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar se a equação
a(1 - t^2 + t^3) + b(2t + t^2) + c(t^2 - t^3) = 0
só admite a solução a = b = c = 0 .

Passo 3

Agora, vamos expandir essa combinação linear:
a(1) + a(-t^2) + a(t^3) + b(2t) + b(t^2) + c(t^2) + c(-t^3) = 0
Simplificando, obtemos:
a + ( -a + b + c ) t^2 + 2b t + (a - c) t^3 = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo t , os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero.

Passo 4

Isso nos leva a um sistema de equações:
a = 0 (coeficiente de t^0) 2b = 0 (coeficiente de t^1) -a + b + c = 0 (coeficiente de t^2) a - c = 0 (coeficiente de t^3)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação, já sabemos que a = 0 . Da segunda equação, 2b = 0 implica que b = 0 . Substituindo a = 0 na quarta equação, temos 0 - c = 0 , ou seja, c = 0 . Finalmente, substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação, confirmamos que 0 + 0 + c = 0 , o que também dá c = 0 .

Resposta

Como a única solução do sistema é a = b = c = 0 , o conjunto V = 1 - t^2 + t^3, , 2t + t^2, , t^2 - t^3 é linearmente independente.

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