Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^3 ightarrow ackslash mathbbR^3, f( extx, exty, extz)=( extx+ exty, exty, extz)

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da aplicação linear
fcolon R^3 to R^3, f(x,y,z) = (x+y,;y,;z)
Vamos usar o conteúdo de autovalor e autovetor: representamos f por uma matriz A na base canônica, calculamos o polinômio característico chiA(lambda), achamos as raízes (autovalores) e, para cada uma, determinamos o espaço próprio resolvendo (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a imagem de (x,y,z) dá a matriz
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois f(e1)=(1,0,0), f(e2)=(1,1,0) e f(e3)=(0,0,1).

Passo 3

O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = (1-lambda)^3

Passo 4

Da equação (1-lambda)^3=0 segue que o único autovalor é
lambda = 1,
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 5

Para encontrar o espaço próprio relativo a , resolvemos
Isso impõe , sem restrição em e . Logo,

Resposta

O único valor próprio é lambda=1.
O espaço próprio associado é
(x,0,z)mid x,zinR,
cuja base pode ser, por exemplo, (1,0,0),,(0,0,1).

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