Dado S=>=r1, x, e^x, de modo que T(1)=3 x, T(x)=1+2 x e T(e^x)=e^x, então encontre os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
;S=>=r1,x,e^x
e o operador linear Tcolon Sto S definido por
T(1)=3x, T(x)=1+2x, T(e^x)=e^x
Queremos encontrar os autovalores de T.
O conteúdo é Álgebra Linear (autovalores e autovetores) e vamos precisar representar T em uma base de S e calcular seu polinômio característico.

Passo 2

Escolhemos a base ordenada
;B=(1,x,e^x).
Em B, as imagens de T têm coordenadas:
T(1)=0cdot1+3cdot x+0cdot e^xlongrightarrow 030,
T(x)=1cdot1+2cdot x+0cdot e^xlongrightarrow 120,
T(e^x)=0cdot1+0cdot x+1cdot e^xlongrightarrow 001
Logo, a matriz de T em B é
M= 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico de M é dado por
chi(lambda)=detl(M-lambda Ir) =det -lambda & 1 & 0 3 & 2-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
Como a matriz é triangular por blocos, temos
chi(lambda)=det -lambda & 1 3 & 2-lambda ,(1-lambda)
Calculando o determinante do bloco 2times2:
(-lambda)(2-lambda)-3cdot1 =lambda^2-2lambda-3
Portanto
chi(lambda)=(lambda^2-2lambda-3),(1-lambda)

Passo 4

Fatorando chi(lambda):
lambda^2-2lambda-3=(lambda-3)(lambda+1),
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chi(lambda)=(lambda-3)(lambda+1)(1-lambda)
As raízes são
lambda=3, lambda=-1, lambda=1

Resposta

Os autovalores de T são ,-1,;1,;3.

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