Dado um corte (
), prove que se
e
então
.
Passo 1
O enunciado trata de um corte de Dedekind
, isto é, uma partição de
em dois subconjuntos não vazios tais que
-
e , - para todo
e todo vale .
Queremos mostrar queé “fechado para baixo”: se e , então .
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista
e
mas
. Como
e
, segue que
.
Passo 3
Pelo item 2 da definição de corte, para qualquer
e qualquer
temos
Aplicando isso a
e a nosso
, obtemos
Passo 4
Chegamos, então, a duas desigualdades contraditórias:
Logo, a hipótese
está errada.
Resposta
Portanto, se
e
, devemos ter
.