Dado um corte ( E, D ), prove que se e \in E e x<e então x \in E.

Passo 1

O enunciado trata de um corte de Dedekind (E,D), isto é, uma partição de \mathbb{Q} em dois subconjuntos não vazios tais que
  1. E\cup D=\mathbb{Q} e E\cap D=\emptyset,
  2. para todo e\in E e todo d\in D vale e<d.
    Queremos mostrar que E é “fechado para baixo”: se e\in E e x<e, então x\in E.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista e\in E e x<e mas x\notin E. Como E\cup D=\mathbb{Q} e E\cap D=\emptyset, segue que x\in D.

Passo 3

Pelo item 2 da definição de corte, para qualquer e\in E e qualquer d\in D temos
e < d.
Aplicando isso a e\in E e a nosso x\in D, obtemos
e < x.

Passo 4

Chegamos, então, a duas desigualdades contraditórias:
x < e \quad\text{e}\quad e < x.
Logo, a hipótese x\notin E está errada.

Resposta

Portanto, se e\in E e x<e, devemos ter x\in E.

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