Defina o que é um corte do conjunto dos racionais. Defina também a ordem, a soma e a multiplicação entre cortes.

Passo 1

O enunciado pede as definições de corte de Dedekind sobre \mathbb{Q} e as operações de ordem, soma e multiplicação entre esses cortes. Vamos ver como cada conceito é construído de forma a completar \mathbb{Q} para formar os reais.

Passo 2

Um corte A em \mathbb{Q} é um subconjunto A\subset\mathbb{Q} que satisfaz três condições:
  1. A\neq\varnothing e A\neq\mathbb{Q}.
  2. Se x\in A e y<x, então y\in A (fechamento para baixo).
  3. A não tem maior elemento: para todo x\in A existe z\in A tal que x<z.

Passo 3

Definimos a ordem entre cortes da seguinte forma. Dados dois cortes A e B, dizemos A\le B se, e somente se, A\subseteq B. Em particular, A<B ocorre quando A\subset B.

Passo 4

A soma de dois cortes A e B é o corte
A + B \;=\; \{\,r+s \mid r\in A,\;s\in B\}\,.
É fácil verificar que A+B herda as três propriedades de corte e representa a soma de números reais correspondentes.

Passo 5

Para definir a multiplicação, primeiro consideramos cortes não negativos, i.e.\ tais que \{q<0\}\subseteq A. Dados dois cortes A\ge0 e B\ge0, definimos
A\cdot B \;=\; \{\,q\in\mathbb{Q}\mid \exists\,a\in A,\;\exists\,b\in B\text{ com }q< a\,b\}\!.
Esse conjunto também satisfaz as propriedades de corte. Para cortes com sinal geral, usa-se:
(-A)=\{\,q\in\mathbb{Q}\mid -q\notin A\},
e depois define-se casos como
A\cdot B = \begin{cases} \,(-A)\cdot(-B),&A<0,\;B<0,\\\ \,-\bigl((-A)\cdot B\bigr),&A<0,\;B\ge0,\\\ \,-\bigl(A\cdot(-B)\bigr),&A\ge0,\;B<0,\\\ A\cdot B,&A\ge0,\;B\ge0. \end{cases}

Resposta

Um corte de Dedekind é um subconjunto A\subset\mathbb{Q} não trivial, fechado para baixo e sem maior elemento. A ordem é dada por inclusão: A\le B se A\subseteq B. A soma é
A+B=\{r+s\mid r\in A,\;s\in B\},
e a multiplicação, para cortes não negativos, é
A\cdot B=\{q\in\mathbb{Q}\mid\exists a\in A,\;b\in B\text{ com }q<ab\},
estendendo-se a casos de sinais usando o corte oposto (-A)=\{q\mid -q\notin A\}.

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