Seja
um número natural primo e
. Utilize a fatoração em números primos para mostrar que se
então
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sendo
um número natural primo e
, se
então
ou
. O que vamos usar é o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única em primos) e a ideia de que um primo divide um produto exatamente quando aparece como fator na fatoração desse produto.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, podemos escrever
onde cada
e cada
é um primo (podendo repetir) e
. Essas fatorações são únicas, salvo a ordem dos fatores.
Passo 3
Então
Logo, os únicos primos que aparecem como fatores de
são exatamente os
e os
.
Passo 4
Como
, o primo
tem de surgir na fatoração de
. Pela unicidade,
deve coincidir com algum
(então
) ou com algum
(então
).
Resposta
Concluímos que, usando a fatoração única em primos, se
então obrigatoriamente
ou
.