Seja p um número natural primo e m, n \in \mathbb{N}. Utilize a fatoração em números primos para mostrar que se p \mid m n então p \mid m ou p \mid n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sendo p um número natural primo e m,n\in\mathbb{N}, se p\mid mn então p\mid m ou p\mid n. O que vamos usar é o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única em primos) e a ideia de que um primo divide um produto exatamente quando aparece como fator na fatoração desse produto.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, podemos escrever
m = p_1^{a_1}\,p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},
n = q_1^{b_1}\,q_2^{b_2}\cdots q_\ell^{b_\ell},
onde cada p_i e cada q_j é um primo (podendo repetir) e a_i,b_j\ge1. Essas fatorações são únicas, salvo a ordem dos fatores.

Passo 3

Então
mn = p_1^{a_1}\,p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\;\;q_1^{b_1}\,q_2^{b_2}\cdots q_\ell^{b_\ell}.
Logo, os únicos primos que aparecem como fatores de mn são exatamente os p_1,\dots,p_k e os q_1,\dots,q_\ell.

Passo 4

Como p\mid mn, o primo p tem de surgir na fatoração de mn. Pela unicidade, p deve coincidir com algum p_i (então p\mid m) ou com algum q_j (então p\mid n).

Resposta

Concluímos que, usando a fatoração única em primos, se p\mid mn então obrigatoriamente p\mid m ou p\mid n.

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