Prove que dados
, existem infinitos racionais
satisfazendo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois reais
, existem infinitos números racionais
tais que
O conteúdo principal que vamos usar é a propriedade arquimediana dos reais, que garante que para todo real positivo existe um inteiro maior.
Passo 2
Pela propriedade arquimediana, podemos escolher um inteiro natural
tal que
Isso implica que o comprimento do intervalo
é maior que
, ou seja,
Passo 3
Como
é um intervalo de comprimento maior que
, existe pelo menos um inteiro
satisfeito
Definindo
vemos que
é racional e
Portanto, já encontramos um racional
em
.
Passo 4
Para obter infinitos, basta repetir o argumento em qualquer subintervalo não vazio de
. Por exemplo, tome o intervalo
. Ele tem comprimento
logo podemos escolher um inteiro
tal que
e achar um racional
com
Em seguida, aplicamos de novo no intervalo
e assim por diante. Cada vez obtemos um novo racional distinto em
, construindo uma sequência infinita de racionais.
Resposta
Dessa forma, mostramos que sempre existe pelo menos um racional em
e que o procedimento pode ser repetido indefinidamente, gerando infinitos racionais entre
e
.