Prove que dados x, y \in \mathbb{R}, \operatorname{com} x<y, existem infinitos racionais p satisfazendo:
x<p<y .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois reais x<y, existem infinitos números racionais p tais que
x < p < y.
O conteúdo principal que vamos usar é a propriedade arquimediana dos reais, que garante que para todo real positivo existe um inteiro maior.

Passo 2

Pela propriedade arquimediana, podemos escolher um inteiro natural n tal que
n\,(y - x) > 1.
Isso implica que o comprimento do intervalo (n x,\,n y) é maior que 1, ou seja,
n y - n x = n\,(y - x) > 1.

Passo 3

Como (n x,\,n y) é um intervalo de comprimento maior que 1, existe pelo menos um inteiro k satisfeito
n x < k < n y.
Definindo
p = \frac{k}{n},
vemos que p é racional e
x = \frac{n x}{n} < \frac{k}{n} = p < \frac{n y}{n} = y.
Portanto, já encontramos um racional p em (x,y).

Passo 4

Para obter infinitos, basta repetir o argumento em qualquer subintervalo não vazio de (x,y). Por exemplo, tome o intervalo (x,p). Ele tem comprimento
p - x > 0,
logo podemos escolher um inteiro n' tal que n'(p-x)>1 e achar um racional p' com
x < p' < p.
Em seguida, aplicamos de novo no intervalo (x,p') e assim por diante. Cada vez obtemos um novo racional distinto em (x,y), construindo uma sequência infinita de racionais.

Resposta

Dessa forma, mostramos que sempre existe pelo menos um racional em (x,y) e que o procedimento pode ser repetido indefinidamente, gerando infinitos racionais entre x e y.

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