Dados três números reais \alpha, \beta e \gamma, prove que se \alpha<\beta e \beta<\gamma, então devemos ter
\alpha<\gamma .

Passo 1

O enunciado dá três números reais \alpha, \beta e \gamma e pede para provar que, se
\alpha < \beta \quad\text{e}\quad \beta < \gamma,
então necessariamente \alpha < \gamma.
O que vamos usar é a propriedade de ordem nos reais: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}, temos
x<y \quad\Longleftrightarrow\quad y - x > 0,
e saber que a soma de dois números positivos é positiva.

Passo 2

Da desigualdade \alpha < \beta segue
\beta - \alpha > 0,
e da desigualdade \beta < \gamma segue
\gamma - \beta > 0.

Passo 3

Somando as duas desigualdades acima, obtemos
(\beta - \alpha) + (\gamma - \beta) > 0 + 0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma - \alpha > 0.
Como \gamma - \alpha > 0 equivale a \alpha < \gamma, chegamos ao que queríamos demonstrar.

Resposta

\alpha < \gamma

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